Главная / Рефераты / Рефераты по философии
О геометрии. Подражание, быть может, Н. Кузанскому
Notice: Undefined variable: ref_img in /home/area7ru/area7.ru/docs/referat.php on line 323
Трудно, повидимому, найти более неблагодарную тему, чем эта,- ибо что значит в наше "мудрое всезнающее" время пытаться переосмысливать такую древнюю "затасканную" науку как геометрия. Однако кроме внутреннего "иррационального" побуждения для такого переосмысления существуют и рациональные доводы. В истории, как известно, чередуются времена "зрелости и мудрости" с временами "молодости", и несмотря на убежденность многих, равносильную "пресмыкательству перед настоящим", нет серьезных причин сомневаться в том, что такое чередование будет осуществляться и в дальнейшем. Последующее всегда рождается в предыдущем, следовательно, последующая "молодость" должна иметь свой базис в настоящей "зрелости" и наоборот. Именно поэтому сомнения в очевидных и общепризнанных основах, болeе соответствующих периодам "молодости", могут происходить и в периоды "зрелости", особенно если сомнения сами по себе духовно зрелые. Следующий и, по моему, более внушительный довод заключается в том, что геометрия c рассматриваемой нами стороны является показательным исключением среди прочих древних наук. По логике парадокса, повидимому, вследствии большой взаимозаменяемости базисных элементов, их простоты и наглядности переосмысления в геометрии носили по-настоящему основополагающий, глобальный характер. В других науках не наблюдалось, повидимому, такой глобальности переосмысления, глобально там, как правило, поступательное развитие. Придя к необходимости очередного переосмысления я, как мне представляется, уяснил для себя сущность прежних переосмыслений. Сказанное таким образом в общем виде не является большим откровением,- таковы законы мыслительного творчества. Нет ничего сенсационно откровенного и в том, что "фоном" для отмеченных выше переосмыслений являются духовные "кредо" мыслителей и исторический период, который их сформировал. Среди "переосмыслителей", или, как принято говорить, создателей неeвклидовой геометрии, особо выделяются три человека,- Гаусс, Бояи и Лобачевский, и, говоря выше о переосмыслениях, имелось в виду именно их творчество. Знакомому с историей создания неевклидовой геометрии видно, что между тремя ее основателями, кроме гениальной математической одаренности и тем, что они между собой современники, очень мало общего. Вернее, мало общего между первым и двумя другими, между же Бояи и Лобачевским есть еще одно интересное для нас сходство, на которое будет указано в дальнейшем. Из того, что все они между собой современники, следует нечто интересное и примечательное для нас. Ранее было указано на чередование в истории периодов "молодости" и "зрелости", и следует отметить, что период основания неевклидовой геометрии был периодом "молодости", или даже началом длительного периода "молодости", когда люди (т.е. передовая их часть) очень устали от средневековых установок и стереотипов, находясь в энергичном поиске разумной их замены и нового уклада жизни в целом. Этот энергичный, нередко мучительный и страстный поиск часто сопровождался непониманием истинной глубины обновления, особенно в плане духовности, непониманием того, что глубоко уложенное ранее старое может возвращаться в измененной, но весьма чувствительной форме. В сущности, сила хотения нового в единстве с недопониманием его глубины есть некий интегральный критерий "молодости" или "незрелости". "Незрелость" эпохи ведет к "незрелости" мысли живущих в ней мыслителей, хотя это не одно и то же (здесь нет жесткой заданности, хотя есть связанность), но сила и доказательность рассуждений мыслителя (и другие привычные определители того или иного рассуждения), есть сущностно совершенно иное,чем "зрелость" или" незрелость", хотя какая-то связь, несомненно, существует и здесь. Эти общие рассуждения, как уже, повидимому, догадался читатель, имеет по мнению автора прямое отношение к основателям неевклидовой геометрии. Гаусса, при всех его слабостях, о которых писалось немало, никак нельзя назвать "незрелым" мыслителем. Признанный при жизни "королем математики", автор многих фундаментальных и прикладных открытий, творивший на "стыках наук", прилагая математику к астрономии, геодезии, физике и др.; честнейший профессионал, творивший практически до конца жизни и успешно справлявшийся со многими административными должностями, оставивший также богатое эпистолярное наследие, в котором выразил себя и как философ. Несмотря на разнообразные умственные интересы и запросы, он был цельной личностью, для которой в умственной или духовной деятельности заключались цель и смысл жизни. Эта деятельность была для него главным, фактически единственным настоящим делом, он себя не разменивал "по пустякам", не бросался в сомнительные авантюры, сулившие быстрый, но сомнительный успех. Такие люди могут не вызывать симпатии, но, как правило, особым априорным "зрением" ощущают, что важно, а что нет, что вечно, а что преходяще. Такие люди, повидимому, являются не просто "зрелыми" мыслителями, но и неким образцом "зрелости", "солью земли". И такой мыслитель решает, в отличии от Бояи и Лобачевского, не публиковать ничего из своих заметок по неевклидовой геометрии, даже не строить строго доказательную теорию. Есть, как минимум, несколько гипотез о причинах такого решения, наиболее распространенная из которых следующая,- он боялся "разворошить гнездо ос", т.е. реакции "сильных мира сего" на такие "еретические", с их точки зрения, взгляды. Нам не следует сейчас, повидимому, отклоняться на обстоятельное изложение аргументов, ставящих под сомнение эту гипотезу, но все таки,- таким ли уж Гаусс был боязливым и осторожным, чтобы на вершине славы быть уязвимым к такого рода глупостям и нелепостям. Быть может, более актуальным является следующее предположение,- он действительно, несмотря на внешнюю тематическую актуальность и перспективность, почувствовал (внутренним чувством или зрением, свойственным "зрелым" мыслителям) в самом предмете исследования некий "подвох". Здесь нелишне вспомнить то, на что уже указывалось выше,- что "сила доказательства" (и основательность теоретического построения) есть суть нечто иное, чем духовная зрелость. И в этой связи весьма показательно сравнение Гаусса с одной стороны и Бояи и Лобачевского с другой (особенно Бояи): сила доказательства и основательность построения их работ по интересующему нас предмету гораздо большая, чем содержательные заметки Гаусса, но духовная зрелость, экзальтируемая в них, гораздо меньшая. Недостаток духовой зрелости (стоит отметить в более общем смысле, не только в смысле математического творчества) рельефно прослеживается на биографии Яноша Бояи: он был вспыльчивым, часто скандальным и необузданным; даже математика не была его главным духовным "прибежищем", он был социальным революционером, опьяненным внешними эффектами и результатами. Такие люди могут быть симпатичными, могут проявлять исключительную бескорысность и самоотдачу, но эти качества не свидетельствуют о духовной зрелости, скорее наоборот. Что касается Лобачевского, то на импровизированной "шкале зрелости" между Гауссом и Бояи я бы его поставил все-таки ближе к Бояи. Многие важные для нас факты его биографии дают нам право сделать такой вывод. Он был также часто неуравновешенным, распылялся на администраторскую и воспитательную работу, причем это было больше распылением, чем естественным дополнением. Я осознаю, что это вывод чисто дискуссионный, и не настаиваю на нем. Но факт, что в нем чувствовался надлом, идущий от непонимания его поступков и идей. В этой связи для нас важно, что в борьбе с идейными оппонентами он больше прибегал к озлоблению и к нервному отмахиванию, чем к зрелым доводам. Он более разжигал желчь, чем путем выхода за свои мировоззренческие границы хоть как-то пытался понять по-настоящему достойных оппонентов. По человечески это понятно в отношении к большинству оппонентов, ибо они были интеллектуально значительно ниже его, но возможности ранить душу и притеснить имели большие. Но можно ли отнести к такого рода оппонентам академика Остроградского?! Ведь, как правило, глубина аргументов соответствует интеллекту их приводящего. Многое указывает на то, что Лобачевский недооценивал возможности аргументации против своих идей, пленившись перспективой основополагающего, грандиозного и уникального теоретического построения. Это не есть проявление зрелости как мыслителя, скорее наоборот. Мои оценки основателей неевклидовой геометрии как мыслителей, повидимому, не являются слишком корректными,- оцениваемый материал уж больно скользкий. Тем более, что я сам хочу привести важный аргумент, "бросающий тень" на эти оценки: сам Гаусс и работу Бояи, и работы Лобачевского в личных беседах и частной переписке оценивал очень высоко, а заслуги Лобачевского даже признал публично. Но это, по большому счету, не добавляет к вышеприведенным оценкам ничего, кроме того, что сам Гаусс априорно сомневался. Ведь вопреки расхожему мнению, именно сомнение, вернее, высокий уровень априорного сомнения отражает высокий духовный и интеллектуальный уровень мыслителя, а не твердая, в расхожем смысле этого слова, уверенность. Во всяком случае, и это подтверждается фактами, Бояи и Лобачевский, чьи заслуги перед наукой неизмеримо меньшие, чем Гаусса, были более Гаусса уверены в основательности и истинности новой геометрии, а для нас это весьма показательно. Что касается меня, то я всегда с большим уважением относился к этим людям, а Лобачевского, как сейчас понимаю, когда-то даже боготворил. И тем не менее актуальный для нас вышеописанный "угол рассмотрения" в достаточной степени, по-моему, и рационально обоснован, и объективно справедлив.
Теперь необходимо более делиться с читателем своим мнением по сути предмета, чем по поводу его основателей. Прочитав выше сентенцию о возможных предчувствиях Гаусса на некий "подвох" в обоснованиях неевклидовой геометрии, у него может возникнуть резонный вопрос,- уж не считаю ли я неевклидову геометрию историческим "подвохом" или заблуждением? Ответ на этот вопрос, по сути дела, есть обоснование цели предлагаемой статьи. Отчасти,- даже если это и заблуждение, то уж во всяком случае выдающееся, даже гениальное. Такого рода заблуждения, как известно, имеют свои сильные и положительные влияния в истории, не являются бесполезными, а совсем наоборот. Хорошо известно влияние, хотя и косвенное, идей этой геометрии на Максвелла, Эйнштейна, других физиков, космологов, астрономов, философов и их теории. Известно также влияние неевклидовой геометрии и на ученых-математиков (также геометров) и их теории- Римана с теориями сферического пространства и многократно протяженных величин, Гильберта, Леви-Чивитта, выдающихся математиков 1930-1950 г. с их теориями расслоенных пространств и других, но... опять таки только косвенное. О косвенности влияния можно засомневаться только, пожалуй, в отношении римановской теории многократно протяженных величин, ибо она также в известном смысле является классической, в отношении же других вышеперечисленных теорий косвенность влияния, по-моему, не вызывает сомнений. Ни одна из этих теорий не вытекает непосредственно из работ основателей, которые мы считаем классическими, а на умозрительной импровизированной поверхности соответствия ложатся с ними как-бы рядом. Мы вынуждены говорить об этом прямо потому, что непосредственное вытекание последующих теорий из их основополагающих построений было для основоположников неевклидовой геометрии чуть ли не главным чаянием. Эти чаяния отражены не только в известных нам фактах их жизни, но и в содержании их творчества. Дело здесь в том, что в отличии от последующих работ, работы Бояи и Лобачевского не основываются на точных характеристиках геометрических объектов, создающих геометрию того или иного, как правило, локального пространства. "Гиперболическая" форма пространства Лобачевского есть суть нечто иное, чем точная геометрическая форма того или иного расслоенного пространства или сферическое пространство Римана. Бояи и Лобачевский в своем абстрагировании от конкретных геометрических форм тянутся только к Евклиду,- и я бы отметил это особо, практически только к одному Евклиду. Для Лобачевского не важна форма его пространства, он хочет ее считать само собой разумеющейся также, как прямая форма является сама собой разумеющейся для Евклида.
"Между" началами геометрии (пятью постулатами Евклида) и теориями расслоенных пространств, например, в смысле причинно-следственного соответствия находится ряд теоретических воззрений, выдержавших проверку временем, выводы, посылки и приемы из которых в этих теориях используются; между началами геометрии и классической неевклидовой геометрией, по замыслу ее авторов, ничего находится не должно,- классическая неевклидова геометрия, по этим замыслам, должна быть главной и непосредственной истолковательницей этих начал (всех начальных постулатов, кроме пятого, который отвергается). Последовательная и всеобъемлющая замена евклидовых начал на неевклидовы,- вот главный замысел и чаяние Бояи и Лобачевского. Декартова система координат, повсеместно используемая, должна быть неевклидовой,- так еще можно выразить это чаяние. Можно перечислить еще немало предполагаемых замыслов, которые, как нетрудно догадаться, не оправдались. Не стоит подробно описывать все неоправданные замыслы и надежды, не в этом наша тема, но если их резюмировать, то можно вывести примерно следующее: вместо основополагающего истолкования начальных постулатов геометрии мы имеем по существу типично ставшие и преходящие теоретические построения, "детей своего времени" и в этом смысле таких же, как и абсолютное большинство ему современных и последующих, и таким же образом, как и эти последние, черпающих свою доказательную силу из предыдущих, находящихся на упомянутой выше импровизированной поверхности причинно-следственной связи "между" ними и начальными постулатами. Говоря короче, основоположники хотели "что-то особенное", а получилось "как все и у всех", разве что с большим в определенном смысле абстрагированием и апломбом. Абстрагирование от формы пространства не способствовало повышению возможностей практического применения, а совсем наоборот. Надежда "сбросить Евклида с пьядестала", низвести его до уровня частного случая не оправдались. Практического использования "практически" нет, а есть только более приспособленные к научной практике гносеологически родственные идеи в других областях. По-моему, достаточно аргументов для объявления такой теории несостоятельной, или заблуждением. Но самый, по-моему, главный аргумент несостоятельности неевклидовой геометрии "приподнесла" современность, и выразить его можно таким образом,- несмотря на большое, даже "лавинообразное" развитие высоких компьютерных технологий, нет даже едва уловимой подвижки, даже слабого следа потребности каким-либо образом практически использовать основополагающие достижения неевклидовой геометрии. Сейчас на компьютере в общедоступном графическом редакторе можно смоделировать пространство и поверхность любой формы, даже очень близкую к гиперболе Лобачевского, и для этого нет никакой потребности использовать базис теории Лобачевского, для этого вполне достаточно евклидовых оснований. Выходит, прав был как раз академик Остроградский, когда говорил, что своей неевклидовой геометрией Лобачевский всего лишь "показывает ухо с другой стороны", т.е. исскуственно видоизменяет основы и посредством них пытается вывести нечто такое, что рациональнее было бы вывести посредством общепринятой евклидовой геометрии.
***
В принципе, мы закончили первую часть нашего небольшого исследования, которую коротко можно было бы назвать "обоснование цели исследования". В самом начале была определена цель в наиболее общем виде; сейчас, учитывая содержание первой части, ее необходимо конкретизировать. Нам нужно, с одной стороны, учесть основные трудности и коллизии неевклидовой геометрии и ее основателей, с другой,- учитывая это, по возможности до конца понять и уважить историю, приподнесшую нам такой феномен, и цели основателей, и пойти далее по их стопам. Ведь как ни крути, Бояи и Лобачевский поняли и отразили интеллектуальную потребность многих поколений мыслителей и научной общественности, пытающихся заполнить пробелы, как им казалось, начал геометрии и прежде всего окончательно разрешить проблему пятого постулата. Интересующимся историей науки и научной философии проблема пятого постулата хорошо известна, и нет необходимости подробно останавливаться на ней. Пятый постулат, суть которого в том, что любая прямая, не совпадающая с параллельной к определенной иной прямой, всегда с ней пересечется, имеет возможность формулироваться по-разному. Он имеет возможность формулироваться и через определения подобных фигур, и через сумму углов треугольника, и наподобие тому, как выше определена суть, и согласно классической формулировке Евклида, содержательно действительно похожей на теорему. Есть все основания полагать, что именно содержательная похожесть на теорему, сопряженная с некой загадочностью в неопределенности (неопределенность эта в возможности различных формулировок), подвинула многие пытливые умы к поиску непротиворечивого геометрического доказательства. До возникновения неевклидовой геометрии и в период ее возникновения не было такой ясновыраженной грани, разделяющей науку и философию, как она проявляется теперь, и поэтому тогда в как-будто чистые научные доказательства могли изрядно "вклиниваться" философские подходы и приемы. В доказательстве пятого постулата это не помогло и не могло помочь, но все это имеет прямое отношение к основанию неевклидовой геометрии. Проявление философского подхода у ученых, чьей основной специальностью или способностью является чистая математика, дало "причудливые" результаты. Бояи и Лобачевский продемонстрировали то, как можно гениально и проникновенно "запутаться в четырех "философских" столбах", и в связи с этим для нас сейчас актуально не разбирать те или иные попытки доказательства пятого постулата, а по возможности проанализировать отдельные элементы философского подхода, например, Лобачевского, заложенные им в основание своей теории. Известно как факт, что Лобачевский исходные понятия геометрии,- точка, линия, поверхность, считал "темными пятнами".Общее понимание того, что даже у ученика средней школы, как правило, не вызывает трудностей, Лобачевский считает совершенно недостаточной. Многие считают это следствием гениальной интуиции Лобачевского, я в принципе не возражаю, но... все-таки, что это? Размышляя над этим, мне вспомнилась пространная дефиниция Энгельса о кантовской "вещи в себе". В ней отмечается, что несмотря на общее вразумительное звучание, понятие "вещи в себе" никогда не применяется в научных изысканиях. Обобщая это можно добавить, что понятие "вещи в себе", претендуя на широту и глубину в последней степени, почти совершенно неприспособлено к применению в научных изысканиях. У Энгельса там приводится ироничный пример,- ... собака, повидимому, имеет четыре ноги, но мы в сущности не знаем, не имеет ли она четырех тысяч ног или вообще не имеет ног. Однако Энгельс, наверное, не знал, что за несколько десятилетий до этого и после изобретения Кантом этого понятия Лобачевский сказал примерно следующее,- параллельные прямые нигде не пересекаются, но мы в сущности не знаем, не пересекуться ли они в межзвездном пространстве через десятки световых лет?! Похожесть этих примеров в интересующем нас смысле не вызывает сомнений, и зная немало и других фактов, на которые укажем ниже, мы обязаны сделать вывод,- Лобачевский- один из очень немногих, которому принципиально и целенаправленно удалось применить понятие "вещи в себе" в научной практике, тем более в такой строго рациональной науке, как геометрия. В этом особенность, даже изысканность творения Лобачевского, но в этом также причина его последующих трудностей и неудач. Если быть точным, то вышеприведенным парадоксальным предположением о параллельных Лобачевский хотел лишь приоткрыть тему, пригласить к размышлению, реально же в его логическом построении используется следующее,- параллельные прямые на всем своем протяжении не удаляются и не приближаются друг к другу, но мы в сущности не знаем, не будут ли они приближаться или удаляться друг от друга в межзвездном пространстве через десятки световых лет?! Однако отличие здесь только семантическое, суть понятия "вещи в себе" полностью сохраняется. В по-своему интересной брошюре Розенталя "Геометрия, динамика, Вселенная" в третьей главе первого раздела "Идеализация и приближение" демонстрируется проявление принципа двойственности в применении к основным понятиям геометрии, т.е. если поменять местами эти понятия в аксиомах и теоремах геометрии, истинность и содержание этих аксиом и теорем практически не изменится. Разумеется, Лобачевский понимал и интуитивно чувствовал эту двойственность, а также тройственность и ...мерности более высоких порядков. Возможности применения логических приемов анализа, синтеза, абстрагирования, приближения, идеализации и других, в совокупности с возможностями понятия "вещи в себе" и принципом многомерности создают из основных понятий геометрии некое Высокое единство, обращенное на самое что ни на есть Общее. Основные понятия геометрии в совокупном единстве есть по-настоящему "чистый лист бумаги", на котором "можно изобразить" очень многое, практически все. Я всегда с большим уважением и сочувствием относился к духовному складу или образу мыслей, обращенному в эту сторону; для меня, например, близка даже "крайняя" мысль о том, что основные понятия геометрии взаимозаменяемы не только в чем-то многом, но и буквально во всем. И тем не менее, по логике парадокса, я бы предложил нечто противоположное: выбирать для каждого базисного понятия четкое рационализированное определение и жестко, предельно рационально следовать ему. Лобачевский основал свою теорию на том, что прежде всего "размыл" понятия прямой и плоскости; я же сознательно и последовательно не хочу "размывать" ничего. Понятию точки я бы дал следующее определение, в принципе общеизвестное: "точка- это объект, размерами которого при решении конкретной задачи можно пренебречь". Я бы не настаивал на слове"объект", применил бы другое, если бы чувствовал себя в этой области действительно "первопроходцем", все же остальное только так, и не иначе. В конце, правда, я бы еще добавил слова "в малую сторону", и в дальнейшем мы увидим, что это существенно. Говоря о строгом следовании этому определению, т.е. его безальтернативности, я имею в виду возможное другое: "...у которого линейные размеры отсутствуют", и которое обычно отождествляют с первым. Очень легко, разумеется, даже для среднего ученика средней школы, уяснить для себя тождественность этих определений в общем смысле; но если, например, поставить вопрос о большем или меньшем соответствии этих определений какой-либо конкретной задаче, то здесь могут быть серьезные разногласия и сомнения, и далеко не только у школьников. Моя принципиальная позиция заключается в последовательном и решительном абстрагировании от неопределенностей бесконечности, будь то в малую или в большую сторону. По-моему, необходимо жестко и крайне последовательно оставаться на почве реальности, причем реальность эта, пока нас интересует только геометрия материальных объектов, должна быть ограничена свойствами материальной протяженности и телесности.
О бесконечности.
Бесконечность ( и в малую, и в большую сторону), не есть объект этой реальности, это образ, сгенерированный особенностями человеческого сознания, духовности и психики. Она есть также реальность, но совершенно иного порядка, не материально-телесного. Если последовательно находиться на той точке зрения, что все можно объяснить, как абстрактно и в общем, так и конкретно и в частностях, то происхождение образа бесконечности я бы объяснил так: человек с самого раннего детства ощущает все увеличивающуюся сферу своего существования,- кровать, комната, дом, улица, город, область, другие города, наконец, по мере увеличения знаний, страна, много стран, континент, земной шар, солнечная система, галактика, система галактик, вселенная; видя, например, издали двигающийся поезд или летящий самолет, человек, чаще всего бессознательно, полагает, что этот движущийся объект может закончить свое движение в любом месте, будь то в соседнем городе, на другом континенте или в "центре" иной галактики. "Большая" сфера существования имеет полную возможность ассоциироваться с "меньшей", поэтому "если, например, для комнаты существует вселенная, то и для вселенной должно существовать нечто, чем она сама является для этой комнаты и т.д.". Все эти свойства и возможности человеческого духа способствуют возникновению в сознании локального, ограниченного во времени и конкретного образа бесконечности, что является также свойством сознания или духа, или следствием более общих качественных аспектов сознания или духа. Похожее объяснение возможно и для образа бескнечности "в малую сторону", -"если, например, для вселенной существует солнечная система, а для последней- земля и люди, то при ассоциации вселенной с молекулой (такое возможно хотя бы вследствии качества телесности) для молекулы должно существовать нечто такое, чем для вселенной являются земля и люди". Разумеется, возможны иные варианты объяснения возникновения в сознании образа бесконечности, другой, если можно так выразиться, психо-психологической направленности, но это явно вне сферы нашего рассмотрения.
Жестко и крайне последовательно оставаться на почве реальности, по-моему, значит признать и практически всегда подразумевать то, что бесконечности в сфере нашего рассмотрения нет, т.е. бесконечно больших и бесконечно малых объектов в действительности не существует, а есть только пренебрежение конечными размерами в большую или в малую сторону. Мы не можем быть уверены, да и не так уж для нас важно то, что "если для комнаты существует вселенная, то и для вселенной существовует нечто, чем она сама является для этой комнаты", или "если для вселенной существует солнечная система, а для последней- земля и люди, то для молекулы также существует нечто такое, чем для вселенной являются земля и люди", но для нас важно именно то, что если нечто такое и существует, то оно не является в какую-либо сторону бесконечным, обязательно имеет конечные размеры, протяженность и даже телесность. Все это в общем виде звучит, привычно, вразумительно и ясно, но когда мы снисходим до чего-то конкретного, то картина перестает быть такой недвусмысленной и ясной.
Нужно отметить, что идея (или образ) бесконечности уже на протяжении длительного исторического периода сопряжена (я бы добавил, как инородное тело, исскуственно вживлена) с геометрией и сферой рационалистического творчества вообще, ибо природа ее совершенно иная, не материалистическая и не рационалистическая. Эта идея гуманитарная, а не естествоиспытательская. Нетрудно догадаться, что на заре развития геометрических знаний, дифференциального и интегрального исчислений ее вживление и использование было оправдано, дало большой положительный результат. Однако в дальнейшем, повидимому, все более сказывались отрицательные стороны этого исскуственного вживления, ибо гармонии между идеей бесконечности и сферой материалистического и рационалистического творчества нет и быть не может. Я и, надеюсь, не только я один, помню, как трудно (как я сейчас понимаю, неоправданно трудно) было в школе при изучении интегрального исчисления понять смысл, например, различных способов аппроксимаций кривой при вычислении посредством интегрирования ее длины или ограниченной ею площади; но если бы до сознания ученика было бы изначально правильно доведено то, что различные способы аппроксимаций есть суть различные объекты, т.е. различные кривые, и этот ученик достаточно ясно бы себе представлял величину и форму элементарного участка каждой такой кривой, таких неоправданных трудностей можно было бы избежать. Отрицательные стороны исскуственного вживления идеи бесконечности в сферу материалистического и рационалистического творчества- тема достойная и, по-моему, очень актуальная,- и я хотел бы ее продолжить в других работах. Я сознаю, что в математике и в других точных науках вряд-ли удастся изжить семантику и символику бесконечности, даже если осознание ее вредности "овладеет массами", слишком уж она привычна и скреплена формально, да и заменить ее нечем,- но при решении конкретной задачи понимать ее суть и знать ей цену поистине необходимо.
В конце своей дефиниции о бесконечности я бы хотел в защиту своего взгляда привести пример о высочайшем авторитете, которому эта идея "дурной бесконечности" "замылила глаза" (дурная бесконечность- философское выражение, распространенное,например, у Бердяева), т.е. не дала вовремя найти правильное решение. Имя этого авторитета- Альберт Эйнштейн. Интересующий меня в этом примере исторический факт очень ярко и проникновенно описан в книге А. Ливановой "Три судьбы. Постижение мира", и я позволю себе процитировать:
"Трудности, рожденные бесконечностью Вселенной, встали и перед Эйнштейном,- поначалу столь же неразрешимые…И Эйнштейн искал- мучительно и напряженно. В работе "Вопросы космологии и общая теория относительности" остались следы этих борений духа… Рассматривая возможные выходы из затруднений, Эйнштейн писал: "…я должен признаться, что мне трудно было бы пойти на столь большие уступки… Я решусь на это только тогда, когда все усилия, направленные к тому, чтобы прийти к удовлетворительному представлению о граничных условиях, окажутся бесполезными". "Усилия оказались бесполезными" и Эйнштейн… заключил: "мне не удалось установить граничные условия для пространственной бесконечности"… И здесь, в конце концов, последовал такой удар, открывший неожиданный выход: "Если бы можно было рассматривать мир в его пространственной протяженности как замкнутый, подобного рода граничные условия были бы вообще не нужны"".
Как это можно резюмировать?! Если бы Эйнштейн изначально последовательно полагал, что никакой бесконечности не существует вообще, и бесконечности Вселенной (т.е. мира в его пространственной протяженности) в частности, то он бы быстро осознал, что искать граничные условия для пространственной бесконечности занятие бесполезное,- это все равно что искать то, чего заведомо нет и быть не может, все равно что изобретать "вечный двигатель" или доказывать пятый постулат Евклида. Предположение, перешедшее затем в убеждение, о замкнутости мира есть признание де-факто конечной протяженности нашего мира, т.е. несуществования бесконечности, ибо замкнутость не мыслиться без конечной протяженности и наоборот. Не очень явная, но существенная причина успеха космологической модели Фридмана как раз в том, что в ней нет "дурной бесконечности", по ней Вселенная нестационарна, динамически расширяющаяся или пульсирующаяся, но все-таки в каждый момент времени имеющая конечную протяженность.
Что же мы в принципе можем иметь в реальном пространстве, зная о несуществовании бесконечности?! Прежде всего может идти речь о геометрических фигурах вообще, без акцентирования внимания на их конкретной геометрической форме. Вспоминается определение геометрической фигуре, которому учили в школе: "Геометрическая фигура- это любое множество точек". Это определение претендует на основательность и основополагаемость, но с точки зрения формальных общеизвестных законов математики оно по меньшей мере некорректно, и причина тому в отсутствии гармонии между идеей бесконечности и этими законами. Если точка обладает бесконечно малыми размерами, то любое конечное число точек будет обладать также бесконечно малыми размерами. Если точки расположены непрерывно, то останется та же точка, если вразброс, то окажется фигура, якобы обладающая чем-то вроде протяженности, но не имеющая объёмных размеров. Если подразумевать бесконечное множество точек, то при их разбросанности получается практически та же картина, что при разбросанности конечных точек, и только при непрерывности получается привычная фигура. Но в этом случае непрерывности, наиболее адекватном для нашего геометрического восприятия случае, возникают, по-моему, две трудности. Первая трудность, по-моему меньшая, заключается в том, что в смысле основополагающего определения нет разницы между конечными и бесконечными фигурами. Конечные фигуры- это отрезки прямой или кривой, общеизвестные плоскостные фигуры- треугольник и другие многоугольники, прямоугольник, трапеция, эллипс, другие замкнутые кривые и многое другое; общеизвестные пространственные фигуры- открытые и закрытые многоугольники, многогранники, сфера, другие поверхности и ограниченные ими объемы, и другое. Бесконечные фигуры, плоскостные- это прямая или неограниченная незамкнутая кривая, угол, луч, полоса, полуплоскость, плоскость и другое; пространственные- телесный угол, кривые линии и поверхности, неограниченные цилиндры, призмы и многое другое. Невозможно, я думаю, не согласиться,- для геометрии как науки, требующей всеобщей гармонии и последовательного проистекания одного из другого, ситуация некорректная: такие принципиальные различия между фигурами, как конечность и бесконечность, никак не отражены в определении фигуры. Эта ситуация подтверждает то, что уже было немного другими словами отмечено выше: идея бесконечности не гармонирует с основами геометрии, а как-бы ложится рядом, налепляется на них, как некачественная покраска. Только последовательная делигитимизация идеи бесконечности может привнести гармонию, сделать из бесконечно больших фигур конечные, но размерами которых при решении задач пренебрегают в большую сторону. Вторая, по-моему, большая трудность заключается в самом аспекте непрерывности, его загадке. Загадкой по форме ее сделали умственные коллизии бесконечной малости. Совершенно различные по длине непрерывные отрезки имеют хотя и бесконечные, но по законам математики фактически одинаковые количества точек,- это формальное следствие математических законов фактически противоречит требуемой последовательным рационализмом гармонии. Только идеи бесконечности и непрерывности дают в сочетании как-будто требуемую гармонию, и это предполагает большую изначальность этих идей в сравнении с определением геометрической фигуры, что совершенно неверно, не соответствует сути постулирования основ геометрии. Постулаты и базисные элементы должны быть (т.е. казаться, для нас сейчас это одно и то же) простыми и самоочевидными; идея же непрерывности, учитывая возможные умственные манипуляции с бесконечно малыми величинами, такой не является. От ненужного мистицизма, нереализма и иррациональности идеи бесконечности мы избавились посредством последовательной ее делигитимизации, от таких же проявлений идеи непрерывности, дабы сделать эту идею более реальной и рационально объяснимой, мы можем избавиться путем полного и однозначного сведения ее к некоему базисному элементу, по "степени изначальности" сравнимого с точкой или фигурой. Таким базисным элементом является расстояние между точками или фигурами. Мое понимание этого понятия более общее или общефилософское, чем обычное привычное его понимание. Всеобъемлющая гармония в геометрии должна, согласно этого понимания, базироваться на "столповых" базовых понятиях фигуры и расстояния между фигурами (точки и расстояния между точками есть частный случай), причем эти базисные элементы должны дополнять друг друга как единство противоположностей; они должны быть также полностью взаимозаменяемыми. Любая точка или фигура могут быть истолкованы как некие расстояния и наоборот. Неважно, по прямой, кривой и какой кривой беруться, вернее истолковываются, эти расстояния, неважно также, между какими точками в случае конкретной фигуры эти расстояния могут быть измерены. Нетрудно, я думаю, догадаться, и на логическом, и на интуитивном уровне, что между такими базисными элементами нет и не может быть никаких противоречий, и к такой основополагающей "локальной" гармонии должна сводиться "всеобъемлющая" гармония любых геометрических построений. Психологически важно, чтобы базовые элементы геометрии создавали в необходимой степени "иллюзию" непосредственности и очевидности, не только "иллюзию" формальной простоты; и предложенные элементы как базовые этому условию как нельзя более удовлетворяет. Фигура и расстояние между фигурами (расстояние определяет также вектор направления, который может мыслиться не только по прямой) есть нечто ощущаемое и осознаваемое "изначально" непосредственно и самоочевидно, как воздух, как свет, как окружающие люди, трава, камни, да мало ли что еще. Разумеется, последнее утверждение осознается сомнительным потому, что по конкретному содержанию опирается на фактор субъективности,- для одного, мол, что-то одно мыслится непосредственно ощущаемым и осознаваемым, для другого что-то другое. Но я хочу акцентировать внимание не на факторе субьективности, а на самом аспекте непосредственности и самоочевидности восприятия. Полагаю, что у "среднестатистического" человека именно таким отмеченным выше образом проявляются непосредственность и самоочевидность восприятия, но не это сейчас нас должно интересовать. Я уверен в том, что "среднестатистический" человек воспринимает и общепринятые базовые элементы геометрии (прямая, плоскость, пространство, окружность), и идею непрерывности менее непосредственно и самоочевидно, чем примерно перечисленные выше общие аспекты бытия и предложенные мною элементы геометрии как базовые,- вот что для нас, по-моему, гораздо более актуально. Даже если средний человек, как правило, этого не осознает, это ничего не меняет. Что касается общепринятых базовых элементов, то они кажутся простыми в результате "накопленной наследственности", но они есть также ярковыраженные следствия индукции мышления,- ни о какой иллюзии "изначального" непосредственного восприятии здесь речь идти не может. Что же касается идеи непрерывности, то "потенциал" неопределенности и таинственности, который посредством других слов упоминался выше, вполне в смысле уяснения доступен "среднестатистическому" человеку, но никак не способствует "иллюзии" непосредственности и самоочевидности, а наоборот. Рационалистическое сведение априорной идеи непрерывности к предложенным базовым элементам "превращает" ее в каждом конкретном случае в одномерное (т.е. рациональное) логическое построение типа чередования фигур (или точек) и расстояний между ними, что в решающей степени облегчает ее осознание и использование. Чередование точек и расстояний между ними, которыми в конкретном случае можно пренебречь в малую сторону, это и есть практически единственно возможная рационально-логическая экзальтация непрерывности в самом что ни на есть привычном смысле. Чередование может быть не только последовательным без повторений фигур и расстояний, имитирующим непрерывную линию, но и сложным по структуре, с многочисленными повторениями, с группированиями вокруг одного или множества элементов, имитирующим поверхностную, плоскую, пространственную и др. фигуры. Независимо от сложности структуры имитация геометрического объекта посредством такого чередования есть простой и естественный способ его уяснения для дальнейшей логической обработки.
Перед тем, как перейти к следующему разделу, считаю нужным сказать еще кое о чем, вытекающем из делегитимизации идеи бесконечности. Уяснив себе необходимость последовательной делигитимизации идеи бесконечности и замены ее на пренебрежение размерами в большую или меньшую сторону, нетрудно прояснить для себя суть упомянутого выше принципа двойственности (или мерности более высоких порядков), дав этому качеству базовых элементов геометрии и, как мы увидим, практически любых геометрических объектов вообще, "крайнее", аподиктическое определение,- при конкретных условиях, сообразных содержанию задачи, предполагающих те или иные пренебрежения размерами, привычные базовые элементы и геометрические объекты самым логичным и естественным образом переходят друг в друга. Переход прямой в точку и наоборот есть, повидимому, самый простой и обычный пример: если для объекта, являющегося прямой при определенных условиях или задаче, мы будем пренебрегать длиной в малую сторону (т.е. тем размером, которым мы уже пренебрегли в большую сторону в отмеченных выше условиях или задаче), в новых условиях или задаче, то это и есть самый что ни на есть переход прямой в точку. Акцент на "иных" условиях или задаче принципиально очень важен, даже если он создает семантические трудности,- без него отмеченные выше пренебрежения и переход теряют смысл. Одни и другие условия или задачи могут быть объеденены в совокупные условия или задачу пусть даже эклектически, от этого они не перестают быть таковыми (хотя здесь возможно и органическое соединение). Совокупные условия или задачи могут рассматриваться в любом случае едиными (также как и условия, из которых они составлены), ибо отмеченные выше пренебрежения и переходы как процессы (здесь подходит более общее название- аспект бытия) могут совершаться только в единых условиях. Учитывая все это и пренебрегая теми или иными размерами в ту или иную сторону нетрудно понять, что любая фигура может переходить в точку и наоборот, точка в прямую, плоскость и в "большой" пространственный объект, прямая в плоскость, цилиндр, параллелепипед, др. фигуры и наоборот, плоскость в параллелепипед, пирамиду, кривую поверхность и наоборот, "большой" пространственный объект в любую фигуру и наоборот, цилиндр в окружность и наоборот и т.д.и.т.п. В пределе, как я понимаю, любая фигура может переходить в любую, даже такие как-будто несовместимые как цилиндр и пирамида, только в этом случае "структура" пренебрежения будет иметь сложный характер. Эти рассуждения применимы к фигурам, у которых хотя бы одним размером мы пренебрегаем, к конечным фигурам в общепринятом смысле эти рассуждения решительно неприменимы,- такие фигуры ни при каких условиях не могут переходить друг в друга. Ранее было упомянуто, что основные понятия геометрии (т.е. базовые элементы и фигуры -М.Л.) взаимозаменяемы не только в чем-то многом, но и буквально во всем,- предложенная дефиниция о переходах фигур и пренебрежениях размерами есть уточнение и конкретизация этого утверждения. Предлагаю для семантического удобства ввести еще один термин, не просто совместимый, но и полностью тождественный с тем, о чем уже велась речь выше, его название- соприкосновение фигур или точек, не означающего совершенно ничего другого, кроме того, что эти геометрические объекты находятся между собой на расстояниях, которыми мы пренебрегаем в меньшую сторону. Сразу бросается в глаза, что содержание этого термина значительно отличается от привычного значения этого слова, и тем не менее он вполне допустим.
О прямизне.
Мы перешли к центральной теме нашего небольшого исследования. Иной придирчивый читатель, наверное, может сразу предположить неточность,- почему, мол, "прямизна", а не "прямолинейность". Однако это важно: "прямизна" есть как "прямолинейность", так и "прямоугольность", и в плане нашего исследования, как и в точном привычном "обыденном" толковании, эти различия прнципиальны.
Прямизна всегда казалась и, повидимому, до сих пор кажется самым загадочным из свойств (имеющих прямое отношение к геометрии) материальных объектов, более загадочной, чем идея бесконечности. Пытаясь анализировать эту загадочность, прежде всего подразумевают прямолинейность, т.е. воплощенные в этих объектах прямые линии и плоские грани, и в меньшей степени прямоугольность, т.е. воплощенные в этих объектах и "естественным" образом распространенные в природе прямые углы. Однако намеренно отказавшись от этого привычного шаблона, нетрудно понять, что эти "виды" прямизны в смысле загадочности совершенно равноценны и равнозначны. В чем обычно видят причину этой загадочности? В том, что прямизну никак невозможно вывести посредством базовых элементов геометрии и геометрической логики таким образом, чтобы эта самая прямизна в явной или скрытой форме не присутствовала в исходных данных. Наиболее простой и показательный пример этого- отображение в декартовых координатах прямой линии благодаря тому, что сами оси этих координат являются прямыми. Примечательно, что при замене прямого угла между осями на какой-либо другой отображаемый прямой угол также соответственно изменится, но отображаемая прямая линия останется прямой. Это означает, что прямолинейность и прямоугольность являются независимыми и в каком-то смысле даже изолированными друг от друга цельными аспектами бытия, самодостаточными, "замыкающимися" сами на себя. Не должно вызывать возражений то, что прямизна обладает крайней двойственностью: с одной стороны это "святая" простота, доступная любому и "обязана" быть доступной любому, с другой- большая загадочность, недоступная многим поколениям серьезных мыслителей. Постараемся в этой загадке разобраться и мы, насколько хватит сил и способностей. Пытаясь последовательно отгородиться от некой магии "загадочности" или "тайности", могущей возникнуть при попытке углубиться в тайну прямизны, прежде всего зададимся вопросом,- что могло бы означать невозможность вывести прямизну как таковую из других базовых элементов? Я не вижу, и, повидимому, нет более последовательно выверенного ответа на этот вопрос, чем следующий: это означает то, что прямизну (и, как мы раньше видели, бесконечность) в актуальном для нас смысле отличает отсутствие гармонии между ней и остальными базовыми элементами как единым целым. Прямизну и бесконечность роднит то, что несмотря на большую содержательную связанность с геометрической логикой, они по настоящему органически не вживлены в нее. Однако полной аналогии в актуальном для нас смысле между ними нет,- если бесконечность есть явно "ставшая" в результате духовных процессов в человеческом сознании идея, то в отношении прямизны такой явности не наблюдается, и попытка применить "шаблон объяснения", использованный выше (применительно к бесконечности), для объяснения прямизны уже представляется недопустимой натяжкой, если не сделать при этом существенных и принципиальных оговорок. Что отличает прямолинейность от бесконечности, если постараться отбросить "высокий стиль" изложения и сказать коротко и просто? Это прежде всего "святая и наивная" простота, которой не ощущается применительно к бесконечности. Малолетний ребенок движется к брошенной игрушке по прямой линии, а не "кругами", да и младенец, не умеющий ходить, руку тянет к подвешенной игрушке также примерно по прямой,- почему все-таки так? Человек издревле изготовлял орудия, ориентируясь так или иначе на прямые формы, да и натянутая нить обращала на себя внимание человека не меньше времени, чем "укрощенный" огонь. С тех давних времен человек также обращал внимание на преимущества прямого угла,- вбитый в землю столб тем более устойчив, чем более перпендикулярен к поверхности земли, деревья и другие растения растут к поверхности земли также в "среднем" перпендикулярно, человеку и животному сподручнее ходить прямо, чем под существенным наклоном. Неосознанное стремление к прямизне не ограничивается только человеком,- и у животных, как высших, так и низших, легко можно заметить "реакцию по прямой линии",- и у кошки, и у муравья, например, легко прослеживается движение к цели по прямой линии, и в этом отношении они ничем не отличаются от других наземных животных, рыб и птиц. Опускаясь до явлений "неорганической неживой" природы, мы здесь также наблюдаем явное господство прямых форм. Но в этой области мы можем прояснить для себя один небезынтересный для нас момент: господство прямых форм наблюдается прежде всего не при внешнем осмотре естественным образом сотворенных предметов (здесь это господство представляется сомнительным), а при осознании существования явлений, которых невозможно осознать как таковых без соответствующей теоретической подготовки, достаточного уровня образования и умственного развития. Подходящий сейчас нам для рассмотрения пример такого явления- упругое столкновение шариков, в результате чего силы, действующие на один шарик со стороны другого, одинаковы, разумеется прямые, противоположны по направлению и даже расположены на одной прямой линии. Пример простой, но к таким простым примерам и сводятся сложные; в них обнажается суть, скрытая за сложным содержанием. Это явление кажется нам простым и очевидным, но можем ли мы быть уверены в том, что оно является именно таковым в действительности? Так ли в действительности в нем "все прямо"? Противоречие между тем, что мы наблюдаем и тем, что действительно существует- глубочайшее философское противоречие,- мы на него "напоролись" и углубляться в него сейчас нет никакой возможности. Понятие "вещи в себе" есть только следствие (и не одно- М.Л.) этого коренного противоречия. Мы не можем быть уверены, действительно ли при упругом столкновении шариков все силы и взаимодействия имеют прямую форму, но мы знаем точно, что без существующего в созн...
ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами реферата (доклада, курсовой) урезан на треть (33%)!
Чтобы просматривать этот и другие рефераты полностью, авторизуйтесь на сайте:
|
|
|
Добавлено: 2010.11.29
Просмотров: 995
|
Notice: Undefined offset: 1 in /home/area7ru/area7.ru/docs/linkmanager/links.php on line 21
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательная! |
