Главная / Рефераты / Прочие рефераты
Реферат: Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года
Notice: Undefined variable: ref_img in /home/area7ru/area7.ru/docs/referat.php on line 323
примерный перечень экзаменационных вопросов АНАЛИТИчЕСКАя ГЕОМЕТРИя
1. ЛИНИя НА ПЛОСКОСТИ. ЕЕ УРАВНЕНИЕ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ТЕКУЩИЕ КООРДИНАТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОчКИ ЛИНИИ. 2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на плоскости Oxy. 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами. 4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. 5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки. 6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или каноническое уравнение прямой. 7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору. 8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы направляющие векторы. 9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы нормальные векторы. 10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициентом. 11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера. 12. Вычисление определителей второго и третьего порядков. 13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности. 14. Общее уравнение плоскости. 15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке. 16. Уравнение плоскости в отрезках. 17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. 18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов. 19. Смешанное произведение трех векторов. 20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. 21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей. 22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве. 23. Каноническое уравнение прямой в пространстве. 24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки. 25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. 26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве. 27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве. 28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. 29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах). 30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой второго порядка на плоскости? 31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости. 32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве? 33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz? 34. Вырожденные поверхности второго порядка. 35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения. 36. Метод параллельных сечений. 37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы. 38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы. 39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма. 40. Какая поверхность называется поверхностью вращения? 41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма. 42. Эллиптический параболоид вращения и его форма. 43. Конус вращения и его вид. 44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy. 45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма. 46. Линейчатые поверхности второго порядка. 47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей. 48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (. 49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с центром в начале координат. 50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы? 51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы? 52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка. 53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа? 54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0, используя формулы Крамера. 55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если = (2, 5) и = (-4, -10) - их направляющие векторы. 56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если = (- 2, 3) и = (3, 4) - их нормальные векторы. 57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z + 1= 0. 58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5) на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3, 3). 59. При каком значении a прямая будет лежать на плоскости 3x – y – z – 3 = 0? 60. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора = (1, 6, 0) и вектора (1, -1, -1). 61. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3, 0, 2). 62. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку М(3, 0, 2). 63. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат. 64. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу. 65. Найти направляющий вектор прямой: . 66. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1(0, 0, 0), М2(2, -1, 2), М3(0, -1, 1). 67. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов = (1, 2, 3), = (-1, 2, 4), = (1, 1, 0). 68. Меридиан 4x2 - z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 69. Меридиан 2y = x2 вращается вокруг оси Оy. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 70. Меридиан = -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 71. Меридиан x2 + z2 = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 72. Докажите, что прямая лежит на гиперболоиде . 1 Найдите точки пересечения прямой: и сферы х2 + у2 + z2 = 100. 73. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка ? Как называется эта поверхность? 74. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид ? 75. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2? 76. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5? 77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности. 78. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности. 79. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x2 + y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности. Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 1 1. Какое число называется смешанным произведением трех векторов , , ( 2. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов = (1, 1, 3), = (-1, 0, 4), = (2, 1, 0). 3. Перечислите вырожденные поверхности второго порядка. 4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость х = 1 пересекает гиперболоид + у2 - z2 = 1? Напишите уравнение этого сечения. 5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: х2 + 3у2 - z2 + 6zу - 4 = 0. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 2 1. Как вычисляется определитель третьего порядка ? Вычислить определитель третьего порядка . 6. Найти координаты точки пересечения прямых у = 5х - 4 и . 7. Какая поверхность называется поверхностью второго порядка? 8. Меридиан = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 9. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: 4х2 + 2у2- 4ху-2yz- 4=0. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 3 2. Напишите условие параллельности прямых , . 10. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу. 11. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида вращения. 12. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох. 13. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: х2 + 2у2 + 3z2 - 4хz - 3 = 0. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 4 3. Что называется направляющим вектором прямой на плоскости или в пространстве? 14. Найти смешанное произведение трех векторов (1, 2, 3), (-1, 1, 0), (0, 3, 1). 15. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения. 16. Какие плоскости симметрии имеет эллипсоид ? 17. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка –x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz = 6. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 5 4. Напишите условие параллельности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2. 18. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(2, 0,1). 19. Дайте определение прямолинейной образующей поверхности второго порядка. 20. Найдите точки пересечения прямой и эллипсоида х2 + у2 +. 21. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x2 – 4y2 + z2 + 6xz =10? Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 6 5. Что называется нормальным вектором прямой на плоскости? 22. Найти нормальный вектор плоскости, в которой лежат векторы (2, 5, 0) и (3, 0, 2). 23. Какой цилиндр является цилиндром второго порядка? 24. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Оz. 25. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы: 3х2+4у2+6z2-2xz и найдите ее характеристические числа. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 7 6. Какой угол могут образовывать нормальные векторы двух параллельных плоскостей? 26. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(0, -1,1). 27. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра? 28. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид ? 29. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: 9х2 + 3у2 + 6z2 - 12ху. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 8 7. Как найти нормальный вектор к плоскости, проходящей через два неколлинеарных вектора? 30. Найти каноническое уравнение прямой 31. Напишите каноническое уравнение конуса вращения. 32. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Ох. 33. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: 14х2 + 12у2 + 10z2 - 8ху - 8zу - 17 = 0. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 9 8. Напишите уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору. 34. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора = (1, 0, 1) на вектор (3, 1, -1). 35. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида вращения? 36. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2у = ? 37. Ось Оz является осью вращения конуса с вершиной в начале координат, точка М (0, 1, 2) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 10 9. Известно, что прямая в пространстве с направляющим вектором параллельна плоскости с нормальным вектором . Как расположены векторы и по отношению друг к другу? 38. Докажите, что прямая лежит на плоскости х + у -3z + 17 = 0. 39. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида. 40. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу. 41. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х2 + у2 + z2 - 2ху = 10. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 11 10. Дайте определение векторного произведения векторов и . 42. Точка М1 (1, -2, 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М2 (3, 0, -1) на плоскость. Найти уравнение плоскости. 43. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz? 44. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу. 45. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 12 11. Напишите условие параллельности прямых в пространстве. 46. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если = (1, 2) и = (-2, -4) - их направляющие векторы. 47. Что называется уравнением второй степени относительно х, у? 48. Доказать, что двухполостный гиперболоид х2 + у2 - z2 = -1 имеет одну общую точку с плоскостью х + 2z + 1 = 0, и найти ее координаты. 49. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 2x2 + y2 + z2 –8zy = 30. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 13 12. Что называется углом между прямой и плоскостью? 50. Найти направляющий вектор прямой . 51. Какая поверхность называется линейчатой? 52. Меридиан = -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 53. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 6x2 + 5y2 + 6z2 – 8xz = 20. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 14 13. Что называют смешанным произведением трех векторов? 54. Докажите, что прямая лежит на плоскости 3x – 4y – z – 4 = 0. 55. Напишите каноническое уравнение эллипсоида вращения. 56. Доказать, что эллиптический параболоид 2z = + у2 имеет одну общую точку с плоскостью 2х - 2у - z - 10 = 0, и найти ее координаты. 57. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 2(z - 1) = ? Как называется эта поверхность? Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 15 14. Что называется текущими координатами на линии F(х, у) = 0? 58. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника ABC, если вершины известны: A(1, 1); B(2, 4); C(0, -1). 59. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида вращения. 60. Какие плоскости симметрии имеет конус ? 61. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х2 + у2 - 2уz = 12. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 16 15. Какой угол могут образовывать направляющие векторы двух параллельных прямых в пространстве? 62. Найти каноническое уравнение прямой 63. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Что называется полуосями этого гиперболоида? 64. Меридиан у2 + z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 65. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 6x2 + 2y2 – 6z2 – 2xy =10? Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 17 16. Что называется нормальным вектором плоскости? 66. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(1,1) на прямую, проходящую через точки A(1, 0) и B(2, -1). 67. Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида. 68. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz. 69. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: -2х2 + 6у2 + 6z2 + 4zу - 1 = 0. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 18 17. Напишите условие параллельности двух плоскостей. 70. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если = (2, 7) и = (4, 14) - их нормальные векторы. 71. Каким преобразованием можно привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: ? 72. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох. 73. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: 2х2 + у2+3z2-4yz+1=0. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 19 18. Как найти направляющий вектор прямой в пространстве, заданной как пересечение двух плоскостей? 74. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,1) на прямую, проходящую через точки A(1, 1) и B(2, 1). 75. Какого типа существуют цилиндры второго порядка? 76. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость z = пересекает эллипсоид х2 + у2 + ? Напишите уравнение этого сечения. 77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 2x2 + 3y2 + 2z2 + 2xz = 9. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 20 19. Как вычисляется определитель второго порядка ? Вычислить. 78. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат. 79. Какая поверхность называется цилиндрической (цилиндром)? 80. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость у = 1 пересекает гиперболоид х2 + ? Напишите уравнение этого сечения. 81. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: -2х2 + 2у2 + 6z2 +12хz . Зав. кафедрой -- Экз...
ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами реферата (доклада, курсовой) урезан на треть (33%)!
Чтобы просматривать этот и другие рефераты полностью, авторизуйтесь на сайте:
|
|
|
Добавлено: 2011.05.14
Просмотров: 1335
|
Notice: Undefined offset: 1 in /home/area7ru/area7.ru/docs/linkmanager/links.php on line 21
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательная! |