Статистика малых выборок (small-sample statistics)

Notice: Undefined variable: content in /home/area7ru/area7.ru/docs/material.php on line 128 Принято считать, что начало С. м. в. или, как ее часто называют, статистике «малых п», было положено в первом десятилетии XX века публикацией работы У. Госсета, в к-рой он поместил t-распределение, постулированное получившим чуть позже мировую известность «студентом». В то время Госсет работал статистиком на пивоваренных заводах Гиннесса. Одна из его обязанностей заключалась в том, чтобы анализировать поступающие друг за другом партии бочонков только что сваренного портера. По причине, к-рую он никогда толком не объяснял, Госсет экспериментировал с идеей существенного сокращения числа проб, отбираемых из очень большого количества бочек, находящихся на складах пивоварни, для выборочного контроля качества портера. Это и привело его к постулированию t-распределения. Так как устав пивоваренных заводов Гиннесса запрещал публикацию их работниками результатов исслед., Госсет опубликовал результаты своего эксперимента по сравнению выборочного контроля качества с использованием t-распределения для малых выборок и традиционного z-распределения (нормального распределения) анонимно, под псевдонимом «Студент» (Student — откуда и пошло название t -распределение Стьюдента). t-распределение. Теория t-распределения, подобно теории z-распределения, используется для проверки нулевой гипотезы о том, что две выборки представляют собой просто случайные выборки из одной генеральной совокупности и, следовательно, вычисленные статистики (напр., среднее и стандартное отклонение) яв-ся несмещенными оценками параметров генеральной совокупности. Однако, в отличие от теории нормального распределения, теория t-распределения для малых выборок не требует априорного знания или точных оценок математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности. Более того, хотя проверка различия между средними двух больших выборок на статистическую значимость требует принципиального допущения о нормальном распределении характеристик генеральной совокупности, теория t-распределения не требует допущений относительно параметров. Общеизвестно, что нормально распределенные характеристики описываются одной единственной кривой — кривой Гаусса, к-рая удовлетворяет следующему уравнению: . При t-распределении целое семейство кривых представлено следующей формулой: . Вот почему уравнение для t включает гамма-функцию, которая в математике означает, что при изменении п данному уравнению будет удовлетворять другая кривая. Степени свободы В уравнении для t буквой п обозначается число степеней свободы (df), сопряженных с оценкой дисперсии генеральной совокупности (S2), к-рая представляет собой второй момент любой производящей функции моментов, такой, напр., как уравнение для t-распределения. В С. число степеней свободы указывает на то, сколько характеристик осталось свободным после их частичного использования в конкретном виде анализа. В t-распределении одно из отклонений от выборочного среднего всегда фиксировано, так как сумма всех таких отклонений должна равняться нулю. Это сказывается на сумме квадратов при вычислении выборочной дисперсии как несмещенной оценки параметра S2 и ведет к тому, что df получается равным числу измерений минус единица для каждой выборки. Отсюда, в формулах и процедурах вычисления t-статистики для проверки нулевой гипотезы df = n — 2. F-pacnpeделение. Проверяемая с помощью t-критерия нулевая гипотеза состоит в том, что две выборки были случайным образом извлечены из одной генеральной совокупности или же были случайно извлечены из двух разных совокупностей с одинаковой дисперсией. А что делать, если нужно провести анализ большего числа групп? Ответ на этот вопрос искали в течение двадцати лет после того, как Госсет открыл t-распределение. Два самых выдающихся статистика XX столетия непосредственно причастны к его получению. Один — крупнейший английский статистик Р. А. Фишер, предложивший первые теорет. формулировки, развитие к-рых привело к получению F-распределения; его работы по теории малых выборок, развивающие идеи Госсета, были опубликованы в середине 20-х годов (Fisher, 1925). Другой — Джордж Снедекор, один из плеяды первых американских статистиков, разработавший способ сравнения двух независимых выборок любого объема посредством вычисления отношения двух оценок дисперсии. Он назвал это отношение F-отношением, в честь Фишера. Результаты исслед. Снедекора привели к тому, что F-распределение стало задаваться как распределение отношения двух статистик с2, каждой со своими степенями свободы: . Из этого вышли классические работы Фишера по дисперсионному анализу — статистическому методу, явно ориентированному на анализ малых выборок. Выборочное распределение F (где п = df) представлено следующим уравнением: . Как и в случае t-распределения, гамма-функция указывает на то, что существует семейство распределений, удовлетворяющих уравнению для F. В этом случае, однако, анализ включает два величины df: число степеней свободы для числителя и для знаменателя F-отношения. Таблицы для оценивания t- и F-статистик. При проверке нулевой гипотезы с помощью С., основанных на теории больших выборок, обычно требуется только одна справочная таблица — таблица нормальных отклонений (z), позволяющая определить площадь под нормальной кривой между любыми двумя значениями z на оси абсцисс. Однако таблицы для t- и F-распределений по необходимости представлены комплектом таблиц, поскольку эти таблицы основаны на множестве распределений, полученных вследствие варьирования числа степеней свободы. Хотя t- и F-распределения представляют собой распределения плотности вероятности, как и нормальное распределение для больших выборок, они отличаются от последнего в отношении четырех моментов, используемых для их описания. t-распределение, напр., является симметричным (обратите внимание на t2 в его уравнении) при всех df, но становится все более островершинным по мере уменьшения объема выборки. Островершинные кривые (с эксцессом больше нормальног "> ВНИМАНИЕ! Текст просматриваемой вами энциклопедической статьи урезан на треть (33%)! Чтобы просматривать эту и другие статьи полностью, авторизуйтесь  на  сайте: Ваш id: Пароль: РЕГИСТРАЦИЯ НА САЙТЕ