Главная / Рефераты / Рефераты по физике

Реферат: Разработка демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики


 ш2.0
- 1 -

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение
а) Актуальность темы дипломной работы
б) Цели работы
в) Научная новизна результатов дипломной работы
г) Научная и практическая ценность
д) Вклад автора
е) Реализация
ж) Апробация и публикации
з) Краткое содержание и структура

Глава 1. Физические основы исследуемых процессов
1.1 Электрический колебательный контур
1.2 Опыт Милликена
1.3 Скин-эффект в цилиндрической геометрии
1.4 Скин-эффект в плоской геометрии

Глава 2. Математические методы исследования физических
процессов
2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений
2.2 Задача Коши.(Метод Рунге-Кутты 2-го порядка
2.3 Метод Рунге-Кутты 4 порядка
2.4 Краткие сведения о функциях Бесселя
2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина

- 2 -

Глава 3. Использование ЭВМ в учебном процессе
3.1 Роль ЭВМ в обучении физики
3.2 Методы использования ЭВМ в обучении
3.3 Моделирование физических процессов на ЭВМ
3.4 Краткое описание программ

Заключение
Приложения
Литература

 ш2.0
- 3 -
2Введение

_ 1Актуальность темы дипломной работы
Дипломная работа посвящена разработке демонстрационных прог-
рамм для применения в процессе преподавания физики как в школах и
среднеспециальных учебных заведениях, так и в высших учебных за-
ведениях.
Насыщенность школ современной вычислительной техникой еще не
приводит к большим переменам в образовании, если учитель не под-
готовлен ни психологически, ни профессионально к внедрению ЭВМ в
его жизнь.
В настоящее время накоплен большой опыт применения вычисли-
тельной техники в физических исследованиях, выработаны общие ме-
тодические подходы решения основных физических проблем и можно
констатировать факт, что сложился новый предмет - вычислительная
физика, которая составной частью современной физики наряду с об-
щей физикой и теоретической физикой и входит в стандарт образова-
ния по физики.
Основным методом исследования вычислительной физики является
компьютерный эксперимент, теоретической базой которого служит ма-
тематическое моделирование, а экспериментальной базой - ЭВМ.
Компьютерное моделирование интегрирует такие предметы, как
теоретическая физика, численный анализ и программирование.
На сегодняшний день в процессе преподавания физики очень мно-
гие важные явления и опыты не могут быть реализованы в виде де-
монстраций в силу их сложности, а их объяснение требует от препо-
давателя больших "художественных возможностей". Именно поэтому

- 4 -

появилась тенденция создания компьютерных программ для моделиро-
вания подобных процессов [1-7]. Теперь преподаватель, заранее по-
добрав исходные данные, может по ходу объяснения демонстрировать
все возможные варианты развития процесса не затрачивая массу вре-
мени на приемлемое изображение установки, самого эксперимента,
сопутствующих графиков.
Кроме того, такие программы могут быть также 2 0 использованы в
лабораторном практикуме с дополнительными заданиями разного уров-
ня сложности, а в совокупности с прилагаемыми описаниями и для
самостоятельного изучения материала.

_ 1Целями дипломной работы являлись
- исследование моделируемых процессов на предмет получения
конечных аналитических решений, пригодных для создания на их ос-
нове демонстрационных программ, а в случае их отсутствия построе-
ние алгоритмов решения на основе численных методов;
- создание демонстрационных программ на основе полученных ре-
шений;
- создания лабораторных работ на основе разработанных прог-
рамм и ряда разноуровневых заданий к ним;
- апробация созданных лабораторных работ 2 0на 2 0 физическом фа-
культете ТГПУ им. Л. Н. Толстого в курсе методики преподавания
физики;

_ 1Научная новизна результатов дипломной работы
В работе впервые:
- Созданы демонстрационные программы для моделирования: про-
цессов в электрическом колебательном контуре, опыта Милликена,

- 5 -

скин-эффекта;
- Для скин-эффекта получено решение в виде комбинации функций
Кельвина;
- Показана роль фазового дополнительного слагаемого в решении
для скин-эффекта;
- Показано, что в электрическом колебательном контуре на гра-
фике зависимости энергии от времени существуют плато, соответс-
твующее нулевому току и проведена аналогия с механическими коле-
баниями;

_ 1Научная и практическая ценность
В работе проведен теоретический анализ исследуемых процессов
и создан ряд моделирующих программ.
Как теоретические результаты, так и компьютерные программы
дипломной работы могут быть использованы в процессе преподавания
физики в различных учебных заведениях и при самостоятельном изу-
чении данного материала.

_ 1Вклад автора
В работах, результаты которых выносятся на защиту и выполнен-
ных совместно с научным руководителем, автором внесен должный
вклад в постановку задач, выбор методов исследования, теоретичес-
кий анализ, выбор методов реализации и интерпретацию результатов.

_ 1Реализация результатов работы
Полученные в результате теоретического анализа аналитические
решения были реализованы автором в виде демонстрационных программ
для машин класса IBM PC/AT и совместимых, работающих под управле-

- 6 -

нием:
- MS-DOC версии 5.0 и последующих;
- MS-WINDOWS версий 3.1 и 3.11 (RUS).
Программы реализованы с помощью компиляторов:
- Turbo Pascal 6.0;
- Turbo Pascal 7.0;
и при использовании графических пакетов:
- BGI (Borland International)
- Дизайнер.
Демонстрационные программы используются в курсе преподава-
ния физики на физическом факультете ТГПУ им. Л.Н.Толстого и могут
быть использованы в других учебных заведениях.
_ 1Апробация и публикации. 0
Основные результаты докладывались опубликованы в тезисах док-
ладов 3 Всероссийского (с участием стран СНГ) совещания-семинара
"Применение средств вычислительной техники в учебном процессе", изд-во
УГТУ, Ульяновск 1995 г. [23]
Материалы работы докладывались и обсуждались также на студен-
ческих научных конференциях в ТГПУ [24].

_ 1Краткое содержание и структура
Структура. Дипломная работа состоит из введения, трех глав,
приложения, заключения, содержит 55 страниц машинописного текста,
12 рисунков, список цитируемой литературы включает 24 наименова-
ния.
Во _Введении. обосновывается актуальность работы, формулируется
ее цель, излагается краткое содержание работы по главам и пере-

- 7 -

числяются результаты, являющиеся новыми. Кроме того говорится о
реализации и апробации проделанной работы.
_Глава 1. дипломной работы посвящена теоретическому исследова-
нию моделируемых процессов.
_Глава 2. посвящена описанию математических методов, необходи-
мых для теоретического исследования и моделирования.
В _ Главе 3. рассматриваются методические вопросы, касающиеся
как применения ЭВМ в учебном процессе в целом, так и конкретно
применение разработанных программ.
_Заключение. посвящено подведению итогов проделанной работы.
В _ Приложении. приводятся необходимые схемы, рисунки и графики.

 ш2.0
- 8 -

_ 2Глава 1

1Физические основы исследуемых процессов

1 0 11.1 0 1Электрический колебательный контур.

Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий, в
общем случае, из конденсатора C, катушки индуктивности L и сопро-
тивления нагрузки R (см. рис. 1). Процессы происходящие в такой
системе описываются дифференциальным уравнением вида:
 Ф-
 ш1.0

d 52 0q 7 0 dq
????? + 2 7d 0???? + 7 w 40 52 0q = 0 (1.1.1)
dt 52 0 7 0 dt

где
R 1 dq
2 7d 0= 7 0??? ; 7 w 40 52 0 = ???? ; I = - ????.
L LC dt

Начальные условия: q? =q 40 0 ; I? =I 40 0.
?t=0 4 0 ?t=0

Энергия колебательного контура определяется выражением:

q 52 0 LI 52
W = ???? + ?????. (1.1.2)
2C 2
 ш2.0
 Ф+

Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами. Колебания, описываемые ли-
нейными дифференциальными уравнениями, называются линейными ко-
лебаниями, а соответствующие колебательные системы - линейными

- 9 -
 ш1.0

системами. Уравнение (1.1.1) имеет следующие решения[18]:
 Ф-
 ш1.0

7|
1) 7 w 40 0 > 7d 4, 7 W 0 = 7? w 40 52 7 0+ 7d 52 0 - слабое затухание

4- 7в 4t 7 0 7d
q = e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t)); A=q 40 0;B= ??? q 40;
7W

4- 7в 4t 0 4- 7в 4t
q*= - 7d 0e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t))+ e 4 0(A 7W 0Cos( 7W 0t) + B 7W 0Sin( 7W 0t))

7|
7/ 0 7d 52 4 - 7в 4t
q=q 40 7 / 0 1+ ???? e 7 0Cos( 7W 0t- 7f 40 0); (1.1.3)
7? 0 7W 52

7d
где tg 7f 40 0 = ??? - сдвиг фаз;
7W

7( 0 7d 52 0 7) 4- 7в 4t
I = q 40 7* 01 + 7 0???? 78 0 7W 0e 7 0Sin( 7W 0t) (1.1.4)
79 0 7W 52 0 70

Частный случай: R=0 и 7d 0=0 (гармонические колебания)

q = q 40 0Cos( 7w 40 0t) (1.1.5)

I = q 40 7w 40 0Sin( 7w 40 0t) (1.1.6)

2) Критический режим: 7 цw 40 0= 7d

1 R 52 0 4L
???? = ????? 5 ????? 0> R 52 0 = ????
LC 4L 52 0 C

4- 7в 4t
q = q 40 0e 7 0( 7d 0t + 1) (1.1.7)

4- 7в 4t
I = q 40 0e 7 d 52 0t (1.1.8)

- 10 -
 ш1.0

3) Сильное затухание:

q 52 7 ( 0 7 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7)
q = ???? 7 * 0( 7W 0 + 7d 0)e 7 0 7 0 + ( 7W 0 - 7d 0)e 7 0 7 0 7 8 0 (1.1.9)
2 7W 9 0 70

q 52 7w 40 52 0 7( 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7)
I = ??????? 7 * 0e 7 0 7 0 + e 7 0 7 0 7 8 0 (1.1.10)
2 7W 0 79 0 70
 ш2.0

На рис. 12 показаны зависимости q(t), I(t), W(t), причем на
последней хорошо заметно _плато., соответствующие нулевому току,
при котором в системе не происходит потерь энергии.

 ш2.0
- 11 -

1 0 11.2 Опыт Милликена по определению заряда электрона.

Роберт Эндрюс Милликен (1868-1953) - американский физик (с
1924 года член-корреспондент АН СССР). Получил широкую извест-
ность за ряд опытов, направленных на установление дискретности
электрического заряда и определение заряда электрона с высокой
точностью. За эту работу в 1923 году удостоен Нобелевской премии.
Также известны его работы, направленные на экспериментальное
подтверждение квантовой теории фотоэффекта А.Эйнштейна и работы
по определению численного значения постоянной Планка.
Классические опыты Милликена направлены на прямое доказатель-
ство дискретности электрического заряда и определение элементар-
ного электрического заряда.
Экспериментальный метод, примененный Милликеном, заключался
в непосредственном измерении заряда очень маленьких капелек мас-
ла[14,19].Представим себе такую капельку между обкладками гори-
зонтально расположенного конденсатора(рис.2).Если к пластинам
конденсатора не приложено напряжение, то капля будет свободно
падать. Вследствие малых размеров капля будет падать равномерно,
так как ее вес уравновешивается силой сопротивления воздуха, оп-
ределяемой законом Стокса, и силой Архимеда.
 Ф-
 ш1.0
76 6 6
F 4st 0+G+F 4арх 0=0 (1.2.1)

F 4st 0=G-F 4арх 0 (1.2.2)

F 4st 0=6 7ph 0aV 4G 0, (1.2.3)

G-F 4aрх 0=3 7p 0a 53 0( 7r 4k 0- 7r 0)g/4, (1.2.4)

 ш2.0
 Ф+
где a-радиус капли, 7h 0-вязкость газа, V 4G 0-скорость свободного паде-
ния капли, 7r 4k 0-плотность капли, 7r 0-плотность газа.

- 12 -

Представим себе теперь, что к пластинам конденсатора прило-
жено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы
капелька под действием электрического поля поднималась вверх. Ес-
ли через V 4Е 0обозначить скорость этого подъема, то можно записать:
 Ф-
Еq-mg=6 7ph 0aV 4E 0 (1.2.5)
 Ф+
где Е - напряженность поля внутри конденсатора. Ионизируя воздух
между пластинами конденсатора ( например, при помощи рентгеновс-
ких лучей ), можно изменить заряд капли. Если при этом величину
напряженности поля оставить прежней, то скорость капли изменится
и станет равной V 4E1 0.
Продолжая эти рассуждения, можно получить формулу для раз-
ности зарядов (q-заряд до облучения, q 41 0-заряд после облучения):
 Ф-
1.0

7p 0(2V 4G 7h 53 0) 51/2
7D 0q=q-q 41 0=9???????????????(V 4E 0-V 4E1 0) (1.2.6)
E(( 7r 4k 0- 7r 0)g) 51/2

 ш2.0
 Ф+
Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен
проводил с одной каплей много опытов. Измеряя скорости падения и
подъема капли, экспериментатор рассчитал заряд электрона, который
по его данным оказался равным

e=4.805*10 5-10 0СГСЭ.

Схема установки Милликена приведена на рис. 3 [11,19].
Проведем строгое решение задачи о движении заряженной части-
цы в электрическом поле в вязкой среде. Данное движение (рис.2)
описывается следующим уравнением:

- 13 -
 Ф-
 ш1.0

76
dV 76 0 7 6 0 76 0 7 0 76
m ???? = F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 + F 4электр 0; (1.2.7)
dt

dV 4x
m ????? = - F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 - F 4электр 0 (1.2.8)
dt
 ш2.0
76 0 7 6
где F 4электр 0=qE - сила, действующая на заряженную частицу в
электрическом поле с напряженностью E, причем

E 4x 0= 7+ 0 U/d, 7 0U - напряжение между обкладками конденсатора
d - расстояние между обкладками конденсатора

F 4сопр- 0определяется по закону Стокса (1.2.3), G=mg - сила тяжести
После подстановки и преобразований получим:
 ш1.0

dVx 6 7ph 0а Gx F 4арх 0 4 0qE 4x
????? + ?????? Vx = ???? - ?????? + ????? (1.2.9)
dt m m m m

Введем обозначения

 ш1.0

9 7h 0 7r 0 7 03qE 4x
7a 0=???????;(1.2.10) 7b 0=g(1- ????);(1.2.11) 7g 0=????????;(1.2.12)
2 7r 4k 0а 52 0 7r 4k 0 4 7r 4k 7p 0a 53

получим

dVx
????? + 7a 0Vx = 7b 0 + 7g 0 (1.2.13)
dt

4- 7a 0t 7b 0+ 7 g
Общее решение этого уравнения: V 4x 7 0= 7 0const e + 7 0??????? (1.2.14)
7a

используя начальное условие

7b 0 + 7g 0 7b 0 + 7g
Vx? =V 40 0 ; 4 0V 40 0 = const + ??????? 7" 0 const = V 40 0 - ??????? (1.2.15)
?t=0 7 0 7a 0 7 0 7a

- 14 -
 ш1.0

имеем

7{ 0 7b 0 + 7g 0 7} 0 4- 7a 0t 7b 0 + 7g
V 4x 0 4= 0 72 0 V 40 0 - ??????? 72 0 e 4 0+ ??????? (1.2.16)
7[ 0 7a 0 7 ] 0 7a

4x 0 4t
7! 0 7!
так как 72 4 0dx = 7 2 0 V 4x 0 dt (1.2.17) и x? =0 получим
71 0 71 0 ?t=0
5x 40 0 50

1 7( 0 7 b 0+ 7g 0 7) 4 0 4- 7a 4t 0 7( 0 7 b 0+ 7 g 0 7)
x = - ??? 7 * 0V 40 7 0- 7 0??????? 7 8 0 e + 7 * 0??????? 7 8 0 t (1.2.18)
7a 9 0 7a 0 70 0 7 9 0 7 a 0 7 0

Для создания демонстрационной программы удобнее использовать
формулу не для x, а для 7D 0x,

1 7{ 0 7b 0+ 7g 0 7}{ 0 4- 7a 4t 0 7} 0 7 b 0+ 7 g
7D 0x=x-x 40 0= ??? 72 0V 40 0- ??????? 722 0 1 - e 72 0+??????? t (1.2.19)
7a 0 7[ 0 7 a 0 7 ][ 0 7 ] 0 7 a

 ш2.0
При q 41 0=n 41 0e 76 g 41 0= 7a 0V 41x 0- 7a 0V 40x 0, а при q 42 0=n 42 0e 76 g 42 0= 7a 0V 42x 0- 7a 0V 40x 0(1.2.20),
где V 40x 0-скорость падения капли до облучения и без напряже-
ния,V 41x 0-скорость падения капли до облучения при наличии по-
ля,V 42x 0-скорость капли после облучения при наличии поля. Разделив
(1.2.20) друг на друга получим:
1.0

7g 41 0 V 41x 0 - V 40x 0 q 41
??? 4 0= 4 0??????????? = ???? (1.2.21)
7g 42 0 V 42x 0 - V 40x 0 q 42

 ш2.0

Определив из формулы (1.2.16) значения для V 40x 0,V 41x 0,V 42x 0и подста-
вив их в (1.2.21) можно получить отношение q 41 0 к q 42 0и если оно
равно отношению целых чисел то мы вправе утверждать, что оба

- 15 -

заряда кратны одному и тому же значению - элементарному электри-
ческому заряду, который по современным данным равен:

e=1.6021892*10 5-19 0Кл.

 ш2.0

- 16 -

1 0 11.3 0 1Скин эффект в цилиндрической геометрии.

Скин-эффект (от англ. skin-кожа) - это явление затухания
электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящую сре-
ду. Переменное во времени электрическое поле 3 0и связанное с ним
магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены
большей частью в относительно тонком приповерхностном слое толщи-
ной 7 d 0, называемом 1 глубиной скин-слоя 0. Происхождение скин-эффекта
объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в
проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компен-
сирует внешние поле в объеме проводника. Скин-эффект проявляется
у металлов, в плазме и в других средах с достаточно большой про-
водимостью[12,15].
Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s 0, цик-
лической частоты электромагнитного поля 7 w 0, от состояния поверх-
ности. На малых частотах 7 d 0 велика, убывает с ростом частоты и для
металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой
с длинной волны 7 l` 010 5-5 0 см. При еще больших частотах, превышающих
 1плазменную частоту 0, в проводниках оказывается возможным распрост-
ранение электромагнитных волн. Их затухание определяется как
внутризонными, так и межзонными электронными переходами.
Теоретическое описание скин-эффекта сводится к решению кине-
тического уравнения для носителей заряда с целью определения свя-
зи тока с полем и последующему решению уравнений Максвелла. Наи-
более просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет
место, когда 7 d 0 велика по сравнению с эффективной длиной 7 0 пробега
l электронов. Величина l определяется расстоянием, проходимым

- 17 -

электроном за время 7 t 0 между двумя актами рассеяния( 7t 0-время релак-
сации) либо за период поля 1/ 7w 0 в зависимости от того, какая из
этих величин меньше. В общем случае:
v
l= ????????, (1.3.1)
7t 5-1 0-i 7w
где v-скорость электрона.
Известно 3 вида скин-эффекта: нормальный, аномальный и нели-
нейный.
В случае аномального скин-эффекта происходит рассмотрение си-
туации, когда l > 7 d 0; он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых ме-
таллах при низких температурах.
При достаточно высоких значениях напряженности электромагнит-
ного поля, когда параметры среды, например проводимость 7 d 0, начи-
нают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т.е.
толщина скин-слоя 7 d 0 также начинает зависеть от интенсивности
электромагнитного поля.
Подробно рассмотрим распределение плотности тока по сечению
проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный
ток, т.е. нормальный скин-эффект. Точное решение зависит, вооб-
ще говоря, не только от формы проводника, но и от способа воз-
буждения в нем тока, т.е. от характера внешнего переменного маг-
нитного поля, индуцирующего ток. Есть однако важный случай, ког-
да распределение тока можно считать независящим от способа его
возбуждения. Это ток в тонком проводе, толщина которого мала по
сравнению с его длиной.
При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода
будем считать последний прямолинейным. При этом электрическое по-

- 18 -

ле параллельно оси провода, а вектор напряженности магнитного по-
ля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода[12].
Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно
прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен. Действи-
тельно, в силу симметрии на поверхности провода вектор напряжен-
ности электрического поля зависит только от времени. Но при таком
граничном условии уравнения
76 6
div E = 0 и rot E = 0 7 0 7 0 (1.3.2)
76
в пространстве вне провода имеет лишь решение E = const 7 0не зави-
сящие от пространственных координат во всем пространстве. Отсюда
следует, что магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким
оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному
мгновенному значению переменного тока.[15]
Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса R. Исполь-
зуя уравнения Максвелла и выражение для rot в цилиндрической
системе координат:
 ш1.0
76 0 ? 7 ( 0 4 7 ) ( )
76 0 7ч 0B 7ы 0 ? 76 2 01 7 0 7ч 0E 4z 7ч 0E 7f 4 726 2 ч 0E 4r 7 ч 0E 4z 726
rotE=-???? ; ? rotE= 72 0- 7 0???? 4 0- 4 ????? 72 0e 4r 0+ 72 0???? + 4 0???? 72 0e 7f 0+
7ч 0t ? 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2
(1.3.3) ? 7 9 0 4 70 9 0
76 0 ?
76 0 76 ч 0D ? 7 ( 0 7 )
rotH=j+???? ; ? 7 2 01 7 ч 0(rE 7f 0) 7 01 7 ч 0E 4z 7 26
7ч 0t 7я 0 ? 7 0 + 72 0- 7 0?????? 7 0- 4 0- 7 0????? 72 0e 4z 0 (1.3.4)
(1.3.5) ? 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2
Закон Ома ? 7 9 0 7 0
76 0 76 0 ?
j= 7s 0E ? 7 ( 0 4 7 ) ( )
(1.3.6) ? 76 2 01 7 0 7ч 0H 4z 7ч 0H 7f 4 726 2 ч 0H 4r 7 ч 0H 4z 726
? rotH= 72 0- 7 0???? 4 0- 4 ????? 72 0e 4r 0+ 72 0???? + 4 0???? 72 0e 7f 0+
Материальные урав-? 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2
нения ? 7 9 0 4 70 9 0

- 19 -
 ш1.0

76 6 0 7) 0 ? 7( 0 7 )
D= 7ee 40 0E 72 0 (1.4.7) ? 72 01 7 ч 0(rH 7f 0) 7 01 7 ч 0H 4z 7 26
76 0 76 0 72 0 ? 7 0+ 72 0- 7 0?????? 7 0- 4 0- 7 0????? 72 0e 4z 0 (1.3.8)
B= 7mm 40 0H 70 0 ? 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2
79 0 7 0

76 0 7 6
76 ч 0H 76 0 76 ч 0E
rotE=- 7mm 40?? 0 (1.3.9); rotH= 7s 0E+ 7ee 40?? 0 (1.3.10);
7ч 0t 7 0 7 ч 0t


Из симметрии задачи видно, что ??=0, тогда получим:
7чf
7ч 0E 7f ч 0H 4r 7 0 ? 7 ч 0H 7f 4 7 ч 0E 4r
- ??? =- 7mm 40 0??? (1.3.11) ? - ???= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0??? (1.3.12)
7ч 0z 7 ч 0t 7 0 ? 7 ч 0z 7 4 7 ч 0t
?
7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 ? 7 ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f
??? - ???=- 7mm 40 0??? (1.2.13) ? ??? - ???= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0???(1.3.14)
7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t ? 7 ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t
?
1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 0 ? 7 01 7ч 0(rH 7f 0) 7 0 7ч 0E 4z
- ??????=- 7mm 40 0??? (1.3.15) ? - ??????= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0??? (1.3.16)
r 7ч 0r 7ч 0t ? 7 0r 7ч 0r 7 0 7ч 0t

Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:
 ш1.0
1 7 ч 0(rH 7f 0) 7 ч 0E 4z 0 7) 0 ? 1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 7 )
- ??????= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0??? (а) 72 0 ? - ??????=- 7mm 40 0??? 7 2
r 7 0 7ч 0r 7 ч 0t 72 0 ? r 7ч 0r 7ч 0t 7 2
72 0 ? 7 2
7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 72 0 ? 7ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f 2
??? - ???=- 7mm 40 0??? (б) 78 0(1)? ??? - ???= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0??? 7 8 0(2)
7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t 72 0 ? 7ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t 7 2
72 0 ? 7 2
7чHf 0 7 4 7ч 0Er 72 0 ? 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4r 7 2
- ???= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0??? (в) 72 0 ? - ??? =- 7mm 40 0??? 7 2
7ч 0z 7 0 7 4 7ч 0t 70 0 ? 7ч 0z 7 ч 0t 7 0
?
С компонентами E 4z 0,H 7f 0,E 4r 0 эта сис-?С компонентами H 4z 0,E 7f 0,H 4r 0 эта сис-
тема описывает скин-эффект. ?тема описывает вихревые токи.

 ш2.0
Будем рассматривать только первую систему, описывающую скин-
эффект.
Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле перио-
дически меняется во времени, то оно будет периодически меняться и
во всех остальных точках проводника. При отыскании периодических
решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобно пользовать-
ся комплексной показательной функцией, а затем с помощью извест-

- 20 -

ной формулы Эйлера:
 ш1.0
4i 7ф
e 4 = 0cos 7a 0+isin 7a 0; (1.3.17)
 ш2.0

перейти к вещественной форме решения.
Кроме того отметим, что уравнения в системе (1) линейны и од-
нородны и следовательно для них выполняется принцип суперпозиции:
сумма произвольного числа решений уравнения сама является решени-
ем того же уравнения.
Ищем решение системы (1) в виде:
 ш1.0

i 7w 0t 7 ч )
E 4z 0=E 4z 0(r)e ??=i 7w 2
i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 2 0 (1.3.18)
H 7f 0=H 7f 0(r)e 7 ? ч 2
i 7w 0t => ??=-ik 4z 7 2
E 4r 0=E 4r 0(r)e 7 ч 0z 7 0

Положим k 4z 0=0 так, как мы ищем колебательное решения, а не

волновое. Кроме того считаем, что 7 s > e 40 7ew 0 поэтому 7 e 0=0.

Тогда:
?
ik 4z 0H 7f 0= 7s 0E 4r 0 => E 4r 0=0 (1.3.19) ?
?
? 7s 0 7 ч 0E 4z
7ч 0E 4z 7я 0 ? H 7f 0 = ???????? ????? (1.3.22)
????? = i 7mm 40 7w 0H 7f 0 (1.3.20) ? i 7mm 40 7ws 0 7ч 0r
7ч 0r ?
?
7ч 0H 7f 0 1 ?
??? + ? H 7f 0 = 7 s 0E 4z 0 (1.2.21) ?
7ч 0r r

7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
???? + ? ??? 4 0- i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.23)
7ч 0r 52 0 r 7ч 0r

Рассмотрим 2 возможных случая:

1) _Снаружи проводника. ( 7s 0=0)

- 21 -
 ш1.0

? ?
7ч 52 0E 4z 0 7 01 7 ч 0E 4z 0 1 7 ч 0 ? 7ч 0E 4z 0 ? 7 ч 0E 4z
???? + ? ??? = 0 => ? ??? r??? ? = 0 => r??? = const 41
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r r 7 ч 0r? 7 0 7ч 0r ? 7 ч 0r
? ?

7ч 0E 4z 0 const 41 7 ! 0 const 41
??? 4 0= ?????? => E 4z 0= 72 0 ?????? dr (1.3.24)
7ч 0r 7к 0 r 7 1 0 r

E 4z 0=const 41 0ln(r)+const 42 0 (1.3.25)
 ш2.0

Т.к. при r 76 поле не может бесконечно возрастать => const 41 0=0,
следовательно E=const 42 0 т.е. не зависит от пространственных коор-
динат вокруг проводника.
2) _ Внутри проводника

7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
???? + ? ??? 4 0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.26)
7ч 0r 52 0 r 7ч 0r

Очевидны граничные условия:
 ш1.0
I
E 4z 0? =E 4z 0? и H 7f 0? =H 7f 0? = ???
?r=R ?r=R ?r=R ?r=R 2 7p 0R (1.3.27)

Таким образом мы получили уравнение:

7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z
???? + ? ??? 4 0+ k 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.28)
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r

где k 52 0=-i 7mm 40 7ws

7ы 0 ? 1 ? 7ч 0E 4z
H 7f 0=? ????? ? ??? (1.3.29)
? i 7mm 40 7w 0 ? 7ч 0r

 ш2.0
Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого
записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана ( или

- 22 -
 ш2.0

Вебера )[8,18]:

E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr)+BN 40 0(k 41 0r) (1.3.30)

Однако N 40 0(x) 76S 0при x 76 00, поэтому мы вынуждены отбросить это
решение и окончательно записать:

E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr) (1.3.31)

Или общее решение:
 ш1.0
i 7w 0t
E(r,z,t)=AJ(kr)e (1.3.32)

7| 0 1-i 7| 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|
т.к. 7? 0-i=????;k= 7?mm 40 7ws 5 ???? 0;k= ? ????; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
7| | |
7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02
 ш2.0
7d 0 - глубина проникновения.

Как известно, расчет значений функции Бесселя комплексного
аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную
задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной сте-
пенью наглядности.
Вместе с тем хорошо известно, что уравнение вида:

 ш1.0

7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z
???? + ? ??? 4 0- i 7l 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.33)
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r

7l 52 0= 7mm 40 7ws 0 ; 7 l 0=1/ 7d
 ш2.0

имеет решение в виде комбинации функций Кельвина:

- 23 -
 ш2.0

E 4z 0=A[ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)]+B[ker 40 0( 7l 0r)+kei 40 0( 7l 0r)] (1.3.34)

Причем функции ker 40 0( 7l 0r) и kei 40 0( 7l 0r) мы должны отбросить по тем
же соображениям, что и функции Неймана в предыдущем решении.
Это же легко подтвердить из следующих соображений:
 ш0.9
7| 0 -i 7p 0/4
(1-i)/ 7? 02 7 0=e (1.3.35)

Тогда согласно [8] получим:
-i 7p 0/4
ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)=I 40 0( 7l 0re ) (1.3.36)
 ш2.0

Очевидно, что : ber 40 0( 7l 0r)=Re{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.37)
bei 40 0( 7l 0r)=Jm{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.38)

Очевидно, что общее решение будет иметь вид :
 ш0.8

i 7w 0t
E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}e (1.3.39)
 ш1.0

Преобразуем последнее выражение :

E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}{cos( 7w 0t-k 4z 0z)+isin( 7w 0t)}=
? ?
=A?{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)-ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}?+
? ?

? ?
+i?{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)+ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}?=
? ?
? 7 |
=A?((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 7 0cos( 7w 0t+ 7f 0)+
?
7| 0 ?
+i((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0 sin( 7w 0t+ 7f 0)?; (1.3.40)
?
bei 40 0(r/ 7d 0)
где tg 7f 0=???????????
ber 40 0(r/ 7d 0)

7|
E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0{cos( 7w 0t+ 7f 0)+isin( 7w 0t+ 7f 0)} (1.3.41)

- 24 -

 ш2.0
Далее необходимо перейти к вещественной форме решения, так
как только такие решения имеют физический смысл. Как было показа-
но выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным
решениям.
 ш1.0
7|
E 4z1 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.42)
7|
E 4z2 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0sin( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.43)
7|
где 7 f 0 - определяется выше, а 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws

 ш2.0
Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно
перейти к косинусу путем изменения начала отсчета времени.
Окончательно получим :

 ш1.0
???????????????????????????????????????????????????????????
? ?
? E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+(bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.44) ?
? ?
? ?
? bei 40 0(r/ 7d 0) 7 0 7| 0 ?
? где 7 f 0= arctg??????????? ; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7 w 0=2 7pn 0 ?
? ber 40 0(r/ 7d 0) ?
???????????????????????????????????????????????????????????
 ш2.0

7n 0 - частота переменного тока
7m 0 - магнитная проницаемость проводника
7m 40 0=4 7p 0*10 5-7 0 Гн/м - магнитная постоянная
7s 0 - проводимость проводника

Постоянную A можно определить зная полный ток в любой момент
времени:
 ш1.0 7
4R R
7! ! !
I(t)= 72 0jdS= 72s 0E 4z 02 7p 0rdr=2 7ps2 0E 4z 0(r,t)rdr (1.3.45)
71 1 1
50 0

- 25 -
 ш1.0

7|
Графики функций ber 40 0(x),bei 40 0(x), 7? 0((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+bei 40 0(r/ 7d 0) 52 0),
 7f 0(x) в приложении (на рис. 4,5).

 ш1.0
При высоких частотах.

x>>1
7| | |
ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.46)

7| | |
ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.47)

Тогда x=r/ 7d

? 7 | |
E 4z 0(r,t)=A?(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)cos 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8)+
?
7| 0 7| 0 5?
+(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)sin 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 5? 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.48)
5?

7| |
7? 02 7p 0x 7 0sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 7 |
7f 0=arctg???????????????????????=arctg{tg((x/ 7? 02)- 7p 0/8)} (1.3.49)
7| |
7? 02 7p 0x 7 0cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8)

7|
7f 0=(x/ 7? 02)- 7p 0/8

????????????????????????????????????????????????????????????????
?E 4z 0(r,t)=A(2 7p 0r/ 7d 0) 5-1/2 0exp(r/ 7d 02 51/2 0)cos( 7w 0t+(r/ 7d 02 51/2 0)- 7p 0/8) (1.3.50)?
????????????????????????????????????????????????????????????????
 ш2.0

При малых частотах.

x 76 00 ber(x) 7~ 01 ; bei(x) 7~ 0x 52 0/4 ; tg 7f~ 0x 52 0/4 7~f

Тогда E 4z 0(r,t)=A(1+x 54 0/16) 51/2 0cos( 7w 0t+x 52 0/4) (1.3.51)

 ш2.0
- 26 -

1 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии.

Цилиндрические функции табулированы, однако их машинный рас-
чет является достаточно длительной по времени задачей. Покажем,
что плоской геометрии решения очень похожи на решения в цилиндри-
ческой геометрии, причем функции sin, exp, cos считаются намного
быстрее.
Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, по которой
течет ток (шина) (рис.6)
 Ф-
 ш1.0
? 7 6 6 6
76 0 ? 4 0? e 4x 0 4 0e 4y 0 4 0e 4z 0 ? ? ? ? ?
76 0 7ч 0B ? 76 0 ? ? 4 76 4 0? 7ч 0E 4z 0 7ч 0E 4y 0? 76 4 0? 7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 0?
rotE=-?? ? 7 0rotE=? 7ч 0/ 7ч 0x 7 ч 0/ 7ч 0y 7 ч 0/ 7ч 0z?=e 4x? 0??? - ????+e 4y? 0??? - ????+
7ч 0t ? ? ? 4 0? 7ч 0y 7ч 0z ? 4 0? 7ч 0z 7ч 0x ?
(1.4.1) ? ? E 4x 0 E 4y 0 E 4z 0 ? ? ? ? ?
76 0 ?
76 0 76 0 7ч 0D ?
rotH=j+?? ? ? ?
7ч 0t ? 76 4 0? 7ч 0E 4y 0 7ч 0E 4x 0?
(1.4.2) ? +e 4z? 0??? - ???? (1.4.3)
76 6 0 ? 4 0? 7ч 0x 7ч 0y ?
j= 7s 0E 7о 0 ? ? ?
76 4 76 0 ?????????????????????????????????????????????????????
D= 7ee 40 0E ? 7 6 6 0 76 6 6
76 4 76 0 ? rotE=- 7mm 40 7ч 0H/ 7ч 0t (1.4.4); rotH= 7s 0E+ 7ee 40 7ч 0E/ 7ч 0t (1.4.5)
B= 7mm 40 0H ?
Из симметрии задачи очевидно, что 7 ч 0/ 7ч 0y=0

7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x 0 4? 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x
-??? =- 7mm 40 0??? (1.4.6) 4? 0 -??? = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0??? (1.4.7)
7ч 0z 7 ч 0t 4 0 4? 0 7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t
4?
7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 0 4? 0 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y
4??? 0 - ??? =- 7mm 40 0??? (1.4.8) 4? 0 ??? - ??? = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0??? (1.4.9)
7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4? 0 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t
4?
7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z 0 4? 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z
??? =- 7mm 40 0??? (1.4.10) 4? 0 ??? = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0??? (1.4.11)
7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4? 0 7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t

Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:

7) 0 ?
7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z 7 2 0 ? 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x
??? = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0??? (a) 78 0 (a)? -??? =- 7mm 40 0???
7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t 7 0 0 ? 7ч 0z 7 ч 0t

- 27 -

7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 7 ) 0 ? 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y
4??? 0 - ??? =- 7mm 40 0??? (b) 72 0 ? ??? - ??? = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0???
7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 0 7 ч 0t 7 0? ? 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t
78 0 (a)?
7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x 7 2 0 ? 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z
-??? = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0??? (c)? ? ??? =- 7mm 40 0???
7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t 7 2 0 ? 7ч 0x 7 ч 0t
70 0 ?
?????????????????????????????????????????????????????????????????
С компонентами E 4z 0,H 4y 0,E 4x 0, эта ? С компонентами H 4z 0,E 4y 0,H 4x 0, эта
система описывает скин-эффект ? система описывает вихревые токи
?????????????????????????????????????????????????????????????????
Занимаемся только системой (a) и ищем решения в виде:
 ш1.0
7)
i 7w 0t 7 ч 2
E 4z 0=E 4z 0(r)e ??=i 7w 2
i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 8 0 (1.4.12)
H 4y 0=H 4y 0(r)e 7 ? ч 2
i 7w 0t => ??=-ik 4z 7 2
E 4x 0=E 4x 0(r)e 7 ч 0z 7 2
70
7ч 0H 4y
???= 7s 0E 4z 0 (1.4.13)
7ч 0x

7ч 0E 4z 0 7ы
??? = i 7mm 40 7w 0H 4y 0 (1.4.14)
7ч 0x

E 4x 0= 0 (1.4.15)

7s 0 7 ч 0E 4z
H 4y 0= ??????? 7 0??? (1.4.16)
i 7mm 40 7ws ч 0x

7ч 52 0E 4z
???? - i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.17)
7ч 0x 52

Таким образом имеем уравнения:

Внутри проводника ? Снаружи проводника ( 7s 0=0)
?????????????????????????????????????????????????????????????????
7ч 52 0E 4z 0 ? 7ч 52 0E 4z
???? - i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.18) ? ???? = 0 (1.4.19)
7ч 0x 52 0 ? 7ч 0x 52
?
Очевидны граничные условия: ? Решение:
? E 4z 0=const 41 0x+const 42 0 (1.4.22)
E 4z 0? = E 4z 0? (1.4.20) ? Так как поле не может бес-
?r=R ?r=R ? конечно возрастать то:
4внутри 5 4снаружи 0 ? const 41 0=0
? Поле вне проводника пос-

- 28 -
 ш1.0

H 4y 0? = H 4y 0? (1.4.21) ? тоянно, не зависит от
?r=R ?r=R ? пространственных координат
4внутри снаружи ?
?
По теореме о циркуляции легко ? E 4z 0=const 42
получить: 5?
76 0 76 0 5? 0 7ee 40 0 1 7 ч 0E 4z
7# 0Hdl=I (1.4.23) 5? 0 H 4y 0= ??? ? 7 0??? 7?? 0 (1.4.24)
5? 0 7mm 40 7 s ч 0x
5? 0 5? 0????
I 5* 0 5? 0 5неопределенность
7H 4y 02l=I 5* 0l => H 4y 0=???? (1.4.25) 5? 0 Магнитное поле такое же,
2 5? 0 как оно было бы вокруг про-
5? 0 вода с постоянным током,
I 5* 0 - линейная плотность тока 5? 0 равным мгновенному значению
5? 0 переменного тока.
 ш1.0

Таким образом имеем уравнение:

7ч 52 0E 4z
???? - k 52 0E 4z 0=0 (1.4.26)
7ч 0x 52
где k 52 0=i 7mm 40 7ws

Решение этого уравнения хорошо известно[18]:

E(x) = Ae 5ikx 0+Be 5-ikx 0 (1.4.27)

7| 0 1-i 7| 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|
т.к. 7? 0-i=????;k= 7?mm 40 7ws 5 ???? 0;k= ? ????; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
7| | |
7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02

из геометрии задачи видно, что E 4z 0(x)=E 4z 0(-x) => A=B. Следова-
тельно решение уравнения можно записать в виде:

E(x) = A{e 5ikx 0+e 5-ikx 0} (1.4.28)

Тогда общее решение можно записать в виде ( переобозначив не-
которые выражения: x/(2 51/2 7s 0)=y, а 7w 0t-k 4z 0z= 7a 0 ):
4i 7ф
E 4z 0=A{e 5y 0e 5iy 0+e 5-y 0e 5-iy 0}e =A{e 5y 0(cosy+isiny)+e 5-y 0(cosy-isiny)}*

*{cos 7a 0+isin 7a 0}=A{(e 5y 0+e 5-y 0)cosy+i(e 5y 0-e 5-y 0)siny}{cos 7a 0+isin 7a 0}=

?
=A?{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0-(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}+
?

?
+i{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0+(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}?=
?

A{(e 5y 0+e 5-y 0)cos 52 0y+(e 5y 0-e 5-y 0)sin 52 0y} 51/2 0{(cos 7f 0sin 7a 0-sin 7f 0cos 7a 0)+

- 29 -

+i(cos 7f 0sin 7a 0+sin 7f 0cos 7a 0)} (1.4.29)
 ш1.0

(e 5y 0-e 5-y 0)siny 5 0e 5y 0-e 5-y
где tg 7f 0=?????????????? 5 0= 5 0???????? tgy
(e 5y 0+e 5-y 0)cosy 5 0e 5y 0+e 5-y

Тогда вправе переписать:

????????????????????????????????????????????????? 5? 0?????????
? ?
? E 4z 0=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0{cos( 7a 0+ 7f 0)+isin( 7a 0+ 7f 0)} (1.4.30) ?
? ?
???????????????????????????????????????????????????????????
 ш2.0

Далее следует перейти к вещественной форме решения, так как
только такие решения имеют физический смысл. Приведенное выше
комплексное решение эквивалентно двум вещественным. Оба решения
одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в косинус,
путем изменения начала отсчета времени. По этим же соображениям
путем изменения начала системы отсчета всегда можно положить z=0.
Окончательно получим:
 ш1.0

????????????????????????????????????????????????????????????
? E 4z 0(r,t)=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.31) ?
? ?
? e 5y 0-e 5-y 0 x 7| 0 ?
? 7f 0=arctg 5 0???????? tgy ; y=??????? ; 7 d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7w 0=2 7pn 0 ?
? e 5y 0+e 5-y 0 2 51/2 7d 0 ?
????????????????????????????????????????????????????????????

Т.е. решения аналогичны цилиндрическим.

Интересен предел высоких частот: 7w6; 7d6;y 76S

?????????????????????????????????????
? ?
? E 4z 0(x,t)=Ae 5y 0cos( 7w 0t+y) (1.4.32) ?
? ?
?????????????????????????????????????

x
y= ??????? (1.4.33)
2 51/2 7d

- 30 -

Предел низких частот: 7w6 00; 7d6 00;y 76 00
 ш1.0

???????????????????????????????????????????????????????
? E 4z 0(r,t)=A(1+2y+1-2y+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.34) ?
? ?
? ?
? 1+y-1+y ?
? tg 7f 0=???????y=y 52 0 ?
? 1+y+1-y ?
? ?
? ?
? E 4z 0(r,t)=A(2+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.35) ?
? ?
? ?
? E 4z 0(r,t)=A(2(1+cos2y)) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.36) ?
? ?
? ?
? E 4z 0(r,t)=A2?cosy?cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.37) ?
???????????????????????????????????????????????????????
 ш2.0

Важно заметить, что в формулах (1.3.31) и (1.3.44) существует
дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошо заметна
при сравнении рисунков 10 и 11.
Очевидно, что существует приповерхностный слой с плотностью
тока противоположно направленной поверхностному току.
Для наблюдения этого эффекта нужно сравнить графики в прог-
раммах skin.exe (с учетом фазового слагаемого) и skin_1.exe (без
учета).

 ш2.0
- 31 -

_ 2Глава 2

1" Математические методы исследования процессов "

1 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (далее ОДУ) широко
используются для математического моделирования процессов и явле-
ний в различных областях науки и техники.
В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неиз-
вестных величин входят функция y(x) и ее первые n производных по
аргументу x

7f 0(x,y,y*,...y 5(n) 0)=0. (2.1.1)

Из теории ОДУ известно, что уравнение (2.1.1) эквивалентно
системе n уравнений первого порядка

7f 4k 0(x,y 41 0,y* 41 0,y 42 0,y* 42 0,...,y 4n 0,y* 4n 0)=0, (2.1.2)

где k=1,2,...,n.
Уравнение (2.1.1) и эквивалентная ему система (2.1.2) имеют
бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с
помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять ис-
комые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают-
ся три типа задач, для которых доказано существование и единс-
твенность решений.
Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными услови-

- 32 -

ями. Для таких задач кроме исходного уравнения (2.1.1) в некото-
рой точке x 40 0 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения
функции y(x) и ее производных

y(x 40 0)=y 40 0 ; y*(x 40 0)=y 410 0,...,y 5(n-1) 0(x 40 0)=y 4n-1,0 0. (2.1.3)

Для системы ОДУ типа (2.1.2) начальные условия задаются в виде

y 41 0(x 40 0)=y 410 0 ; y 42 0(x 40 0)=y 420 0,...,y 4n 0(x 40 0)=y 4n0 0. (2.1.4)

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или
краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде
функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество
условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если
решение задачи определяется в интервале x 7е 0[x 40 0,x 4k 0], то такие усло-
вия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.
Минимальный порядок ОДУ, для которого может быть сформулирована
граничная задача, равен двум.
Третий тип задач для ОДУ - это задачи на собственные значе-
ния. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y(x)
и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных
параметров 7 l 41 0, 7l 42 0, 7l 43 0,..., 7l 4m 0, которые называются собственными зна-
чениями. Для единственности решения на интервале [x 40 0,x 4k 0] необхо-
димо задать n + m граничных условий. В качестве примера можно
назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов дис-
сипации, структуры электромагнитных полей и механических напряже-
ний в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффици-
ентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей по-

- 33 -

лей волновых процессов и т.д.
К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не уда-
ется построить аналитическое решение задачи через известные функ-
ции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более
эффективными даже при наличии аналитических решений [10].
Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типа задач.

 ш2.0
- 34 -

1 2.2 0 1Задача Коши. (Метод Рунге-Кутту 2-го порядка).

Систему ОДУ (2.1.2) часто удается представить в каноническом
виде, в так называемой форме Коши
 ш0.9

dy 4k 0(x)
???????? = f 4k 0(x,y 41 0,y 42 0,...,y 4n 0), (2.2.1)
dx

 ш2.0
где k=1,2,...,n.
При формулировке задачи Коши система (2.2.1) дополняется на-
чальными условиями (2.1.4). Для простоты рассмотрим задачу Коши
для одного уравнения типа (2.2.1), а затем полученные алгоритмы
обобщим на систему n уравнений
 ш0.9

dy(x)
??????? = f(x,y), y(x 40 0)=y 40 0. (2.2.2)
dx

 ш2.0
В окрестности точки x 40 0 функцию y(x) разложим р ряд Тейлора
 ш0.9

(x-x 40 0) 52
y(x)=y(x 40 0)+(x-x 40 0)y*(x 40 0)+?????????y**(x 40 0)+..., (2.2.3)
2

 ш2.0
который можно применить для приближенного определения искомой
функции y(x). D njxrt x 40 0 + h при малых значениях h можно ограни-
чится двумя членами ряда (2.2.3), тогда

y(x 40 0+h)=y 40 0+hy*(x 40 0)+O(h 52 0), (2.2.4)

где O(h 52 0)-бесконечно малая величина порядка h 52 0. Но такой метод
дает очень существенные погрешности.
Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, исполь-
зующего разложение искомого решения в ряд Тейлора (2.2.3), необ-

- 35 -

ходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом
возникает необходимость аппроксимации производных от правых час-
тей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что
производные аппроксимируются через значения функции f(x,y) в точ-
ках на интервале [x 40 0,x 40 0+h], которые выбираются из условия наи-
большей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от стар-
шей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычис-
лительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности [10].
Рассмотрим схемы второго порядка точности. Для этого порядка
точности полечено однопараметрическое семейство схем вида:

y(x 40 0+h)=y 40 0+h[(1- 7a 0)f 40 0+ 7a 0f(x 40 0+ 7g 0h,y 40 0+ 7g 0f 40 0h)]+O(h 53 0), (2.2.5)

где 0 7 0

f=f(x,y), 7 g 0=(2 7a 0) 5-1 0.

Локальная погрешность схем (2.2.5) имеет 3-й порядок, гло-
бальная 2-й; т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме, равномер-
но сходится к точному решению с погрешностью O(h 52 0).
Для параметра 7 a 0 наиболее часто используют значения 7 a 0=0,5 и
 7a 0=1. В первом случае формула (2.2.5) приобретает вид

y(x 40 0+h)=y 40 0+h[f 40 0+f(x 40 0+h,y 40 0+hf 40 0)]/2, (2.2.6)

геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 7
Вначале вычисляется приближенное решение ОДУ в точке x 40 0 + h по
формуле Эйлера y 4Э 0= 4 0y 40 0+ 4 0hf 40 0. Затем определяется наклон интег-

- 36 -

ральной кривой в найденной точке f(x 40 0+h,y 4Э 0), и после нахождения
среднего наклона на шаге h находится уточненное значение
y 4RK 0=y(x 40 0+h). Схемы подобного типа называют "прогноз-коррекция",
что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого
порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о пове-
дении интегральной кривой [10].
С целью экономии памяти при программировании алгоритма
(2.2.6), обобщенного на системы ОДУ, изменим его запись с учетом
того, что y 40 0=y 4Э 0-hf 40

y 4k 0(x 40 0+h)=y 4kЭ 0+h[f 4k0 0-f 4k 0(x 40 0+h,y 4kЭ 0)]/2, (2.2.7)

где k - номер решения для системы ОДУ.
Во втором случае при 7a 0=1 от формулы (2.2.5) переходим к схеме

y(x 40 0+h)=y 40 0+hf(x 40 0+h/2,y 40 0+hf 40 0/2), (2.2.8)

геометрический смысл которой отражает рис. 8. Здесь при прогно-
зе определяется методом Эйлера решение в точке x 40 0+h/2

y 41/2 0=y 40 0+hf 40 0/2, (2.2.9)

а после вычисления наклона касательной к интегральной кривой в
средней точке решение корректируется по этому наклону.

 ш2.0
- 37 -

1 2.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

Для построения вычислительных схем методов Рунге-Кутты чет-
вертого порядка в тейлоровском разложении искомого реше...

ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами реферата (доклада, курсовой) урезан на треть (33%)!

Чтобы просматривать этот и другие рефераты полностью, авторизуйтесь  на сайте:

Ваш id: Пароль:

РЕГИСТРАЦИЯ НА САЙТЕ
Простая ссылка на эту работу:
Ссылка для размещения на форуме:
HTML-гиперссылка:



Добавлено: 2010.11.04
Просмотров: 1274

При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательная!