Главная / Рефераты / Рефераты по физике
Реферат: Разработка демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики
Notice: Undefined variable: ref_img in /home/area7ru/area7.ru/docs/referat.php on line 323
ш2.0 - 1 -
ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение а) Актуальность темы дипломной работы б) Цели работы в) Научная новизна результатов дипломной работы г) Научная и практическая ценность д) Вклад автора е) Реализация ж) Апробация и публикации з) Краткое содержание и структура
Глава 1. Физические основы исследуемых процессов 1.1 Электрический колебательный контур 1.2 Опыт Милликена 1.3 Скин-эффект в цилиндрической геометрии 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии
Глава 2. Математические методы исследования физических процессов 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 2.2 Задача Коши.(Метод Рунге-Кутты 2-го порядка 2.3 Метод Рунге-Кутты 4 порядка 2.4 Краткие сведения о функциях Бесселя 2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина
- 2 -
Глава 3. Использование ЭВМ в учебном процессе 3.1 Роль ЭВМ в обучении физики 3.2 Методы использования ЭВМ в обучении 3.3 Моделирование физических процессов на ЭВМ 3.4 Краткое описание программ
Заключение Приложения Литература
ш2.0 - 3 - 2Введение
_ 1Актуальность темы дипломной работы Дипломная работа посвящена разработке демонстрационных прог- рамм для применения в процессе преподавания физики как в школах и среднеспециальных учебных заведениях, так и в высших учебных за- ведениях. Насыщенность школ современной вычислительной техникой еще не приводит к большим переменам в образовании, если учитель не под- готовлен ни психологически, ни профессионально к внедрению ЭВМ в его жизнь. В настоящее время накоплен большой опыт применения вычисли- тельной техники в физических исследованиях, выработаны общие ме- тодические подходы решения основных физических проблем и можно констатировать факт, что сложился новый предмет - вычислительная физика, которая составной частью современной физики наряду с об- щей физикой и теоретической физикой и входит в стандарт образова- ния по физики. Основным методом исследования вычислительной физики является компьютерный эксперимент, теоретической базой которого служит ма- тематическое моделирование, а экспериментальной базой - ЭВМ. Компьютерное моделирование интегрирует такие предметы, как теоретическая физика, численный анализ и программирование. На сегодняшний день в процессе преподавания физики очень мно- гие важные явления и опыты не могут быть реализованы в виде де- монстраций в силу их сложности, а их объяснение требует от препо- давателя больших "художественных возможностей". Именно поэтому
- 4 -
появилась тенденция создания компьютерных программ для моделиро- вания подобных процессов [1-7]. Теперь преподаватель, заранее по- добрав исходные данные, может по ходу объяснения демонстрировать все возможные варианты развития процесса не затрачивая массу вре- мени на приемлемое изображение установки, самого эксперимента, сопутствующих графиков. Кроме того, такие программы могут быть также 2 0 использованы в лабораторном практикуме с дополнительными заданиями разного уров- ня сложности, а в совокупности с прилагаемыми описаниями и для самостоятельного изучения материала.
_ 1Целями дипломной работы являлись - исследование моделируемых процессов на предмет получения конечных аналитических решений, пригодных для создания на их ос- нове демонстрационных программ, а в случае их отсутствия построе- ние алгоритмов решения на основе численных методов; - создание демонстрационных программ на основе полученных ре- шений; - создания лабораторных работ на основе разработанных прог- рамм и ряда разноуровневых заданий к ним; - апробация созданных лабораторных работ 2 0на 2 0 физическом фа- культете ТГПУ им. Л. Н. Толстого в курсе методики преподавания физики;
_ 1Научная новизна результатов дипломной работы В работе впервые: - Созданы демонстрационные программы для моделирования: про- цессов в электрическом колебательном контуре, опыта Милликена,
- 5 -
скин-эффекта; - Для скин-эффекта получено решение в виде комбинации функций Кельвина; - Показана роль фазового дополнительного слагаемого в решении для скин-эффекта; - Показано, что в электрическом колебательном контуре на гра- фике зависимости энергии от времени существуют плато, соответс- твующее нулевому току и проведена аналогия с механическими коле- баниями;
_ 1Научная и практическая ценность В работе проведен теоретический анализ исследуемых процессов и создан ряд моделирующих программ. Как теоретические результаты, так и компьютерные программы дипломной работы могут быть использованы в процессе преподавания физики в различных учебных заведениях и при самостоятельном изу- чении данного материала.
_ 1Вклад автора В работах, результаты которых выносятся на защиту и выполнен- ных совместно с научным руководителем, автором внесен должный вклад в постановку задач, выбор методов исследования, теоретичес- кий анализ, выбор методов реализации и интерпретацию результатов.
_ 1Реализация результатов работы Полученные в результате теоретического анализа аналитические решения были реализованы автором в виде демонстрационных программ для машин класса IBM PC/AT и совместимых, работающих под управле-
- 6 -
нием: - MS-DOC версии 5.0 и последующих; - MS-WINDOWS версий 3.1 и 3.11 (RUS). Программы реализованы с помощью компиляторов: - Turbo Pascal 6.0; - Turbo Pascal 7.0; и при использовании графических пакетов: - BGI (Borland International) - Дизайнер. Демонстрационные программы используются в курсе преподава- ния физики на физическом факультете ТГПУ им. Л.Н.Толстого и могут быть использованы в других учебных заведениях. _ 1Апробация и публикации. 0 Основные результаты докладывались опубликованы в тезисах док- ладов 3 Всероссийского (с участием стран СНГ) совещания-семинара "Применение средств вычислительной техники в учебном процессе", изд-во УГТУ, Ульяновск 1995 г. [23] Материалы работы докладывались и обсуждались также на студен- ческих научных конференциях в ТГПУ [24].
_ 1Краткое содержание и структура Структура. Дипломная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения, содержит 55 страниц машинописного текста, 12 рисунков, список цитируемой литературы включает 24 наименова- ния. Во _Введении. обосновывается актуальность работы, формулируется ее цель, излагается краткое содержание работы по главам и пере-
- 7 -
числяются результаты, являющиеся новыми. Кроме того говорится о реализации и апробации проделанной работы. _Глава 1. дипломной работы посвящена теоретическому исследова- нию моделируемых процессов. _Глава 2. посвящена описанию математических методов, необходи- мых для теоретического исследования и моделирования. В _ Главе 3. рассматриваются методические вопросы, касающиеся как применения ЭВМ в учебном процессе в целом, так и конкретно применение разработанных программ. _Заключение. посвящено подведению итогов проделанной работы. В _ Приложении. приводятся необходимые схемы, рисунки и графики.
ш2.0 - 8 -
_ 2Глава 1
1Физические основы исследуемых процессов
1 0 11.1 0 1Электрический колебательный контур.
Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий, в общем случае, из конденсатора C, катушки индуктивности L и сопро- тивления нагрузки R (см. рис. 1). Процессы происходящие в такой системе описываются дифференциальным уравнением вида: Ф- ш1.0
d 52 0q 7 0 dq ????? + 2 7d 0???? + 7 w 40 52 0q = 0 (1.1.1) dt 52 0 7 0 dt
где R 1 dq 2 7d 0= 7 0??? ; 7 w 40 52 0 = ???? ; I = - ????. L LC dt
Начальные условия: q? =q 40 0 ; I? =I 40 0. ?t=0 4 0 ?t=0
Энергия колебательного контура определяется выражением:
q 52 0 LI 52 W = ???? + ?????. (1.1.2) 2C 2 ш2.0 Ф+
Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Колебания, описываемые ли- нейными дифференциальными уравнениями, называются линейными ко- лебаниями, а соответствующие колебательные системы - линейными
- 9 - ш1.0
системами. Уравнение (1.1.1) имеет следующие решения[18]: Ф- ш1.0
7| 1) 7 w 40 0 > 7d 4, 7 W 0 = 7? w 40 52 7 0+ 7d 52 0 - слабое затухание
4- 7в 4t 7 0 7d q = e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t)); A=q 40 0;B= ??? q 40; 7W
4- 7в 4t 0 4- 7в 4t q*= - 7d 0e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t))+ e 4 0(A 7W 0Cos( 7W 0t) + B 7W 0Sin( 7W 0t))
7| 7/ 0 7d 52 4 - 7в 4t q=q 40 7 / 0 1+ ???? e 7 0Cos( 7W 0t- 7f 40 0); (1.1.3) 7? 0 7W 52
7d где tg 7f 40 0 = ??? - сдвиг фаз; 7W
7( 0 7d 52 0 7) 4- 7в 4t I = q 40 7* 01 + 7 0???? 78 0 7W 0e 7 0Sin( 7W 0t) (1.1.4) 79 0 7W 52 0 70
Частный случай: R=0 и 7d 0=0 (гармонические колебания)
q = q 40 0Cos( 7w 40 0t) (1.1.5)
I = q 40 7w 40 0Sin( 7w 40 0t) (1.1.6)
2) Критический режим: 7 цw 40 0= 7d
1 R 52 0 4L ???? = ????? 5 ????? 0> R 52 0 = ???? LC 4L 52 0 C
4- 7в 4t q = q 40 0e 7 0( 7d 0t + 1) (1.1.7)
4- 7в 4t I = q 40 0e 7 d 52 0t (1.1.8)
- 10 - ш1.0
3) Сильное затухание:
q 52 7 ( 0 7 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7) q = ???? 7 * 0( 7W 0 + 7d 0)e 7 0 7 0 + ( 7W 0 - 7d 0)e 7 0 7 0 7 8 0 (1.1.9) 2 7W 9 0 70
q 52 7w 40 52 0 7( 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7) I = ??????? 7 * 0e 7 0 7 0 + e 7 0 7 0 7 8 0 (1.1.10) 2 7W 0 79 0 70 ш2.0
На рис. 12 показаны зависимости q(t), I(t), W(t), причем на последней хорошо заметно _плато., соответствующие нулевому току, при котором в системе не происходит потерь энергии.
ш2.0 - 11 -
1 0 11.2 Опыт Милликена по определению заряда электрона.
Роберт Эндрюс Милликен (1868-1953) - американский физик (с 1924 года член-корреспондент АН СССР). Получил широкую извест- ность за ряд опытов, направленных на установление дискретности электрического заряда и определение заряда электрона с высокой точностью. За эту работу в 1923 году удостоен Нобелевской премии. Также известны его работы, направленные на экспериментальное подтверждение квантовой теории фотоэффекта А.Эйнштейна и работы по определению численного значения постоянной Планка. Классические опыты Милликена направлены на прямое доказатель- ство дискретности электрического заряда и определение элементар- ного электрического заряда. Экспериментальный метод, примененный Милликеном, заключался в непосредственном измерении заряда очень маленьких капелек мас- ла[14,19].Представим себе такую капельку между обкладками гори- зонтально расположенного конденсатора(рис.2).Если к пластинам конденсатора не приложено напряжение, то капля будет свободно падать. Вследствие малых размеров капля будет падать равномерно, так как ее вес уравновешивается силой сопротивления воздуха, оп- ределяемой законом Стокса, и силой Архимеда. Ф- ш1.0 76 6 6 F 4st 0+G+F 4арх 0=0 (1.2.1)
F 4st 0=G-F 4арх 0 (1.2.2)
F 4st 0=6 7ph 0aV 4G 0, (1.2.3)
G-F 4aрх 0=3 7p 0a 53 0( 7r 4k 0- 7r 0)g/4, (1.2.4)
ш2.0 Ф+ где a-радиус капли, 7h 0-вязкость газа, V 4G 0-скорость свободного паде- ния капли, 7r 4k 0-плотность капли, 7r 0-плотность газа.
- 12 -
Представим себе теперь, что к пластинам конденсатора прило- жено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы капелька под действием электрического поля поднималась вверх. Ес- ли через V 4Е 0обозначить скорость этого подъема, то можно записать: Ф- Еq-mg=6 7ph 0aV 4E 0 (1.2.5) Ф+ где Е - напряженность поля внутри конденсатора. Ионизируя воздух между пластинами конденсатора ( например, при помощи рентгеновс- ких лучей ), можно изменить заряд капли. Если при этом величину напряженности поля оставить прежней, то скорость капли изменится и станет равной V 4E1 0. Продолжая эти рассуждения, можно получить формулу для раз- ности зарядов (q-заряд до облучения, q 41 0-заряд после облучения): Ф- 1.0
7p 0(2V 4G 7h 53 0) 51/2 7D 0q=q-q 41 0=9???????????????(V 4E 0-V 4E1 0) (1.2.6) E(( 7r 4k 0- 7r 0)g) 51/2
ш2.0 Ф+ Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен проводил с одной каплей много опытов. Измеряя скорости падения и подъема капли, экспериментатор рассчитал заряд электрона, который по его данным оказался равным
e=4.805*10 5-10 0СГСЭ.
Схема установки Милликена приведена на рис. 3 [11,19]. Проведем строгое решение задачи о движении заряженной части- цы в электрическом поле в вязкой среде. Данное движение (рис.2) описывается следующим уравнением:
- 13 - Ф- ш1.0
76 dV 76 0 7 6 0 76 0 7 0 76 m ???? = F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 + F 4электр 0; (1.2.7) dt
dV 4x m ????? = - F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 - F 4электр 0 (1.2.8) dt ш2.0 76 0 7 6 где F 4электр 0=qE - сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле с напряженностью E, причем
E 4x 0= 7+ 0 U/d, 7 0U - напряжение между обкладками конденсатора d - расстояние между обкладками конденсатора
F 4сопр- 0определяется по закону Стокса (1.2.3), G=mg - сила тяжести После подстановки и преобразований получим: ш1.0
dVx 6 7ph 0а Gx F 4арх 0 4 0qE 4x ????? + ?????? Vx = ???? - ?????? + ????? (1.2.9) dt m m m m
Введем обозначения
ш1.0
9 7h 0 7r 0 7 03qE 4x 7a 0=???????;(1.2.10) 7b 0=g(1- ????);(1.2.11) 7g 0=????????;(1.2.12) 2 7r 4k 0а 52 0 7r 4k 0 4 7r 4k 7p 0a 53
получим
dVx ????? + 7a 0Vx = 7b 0 + 7g 0 (1.2.13) dt
4- 7a 0t 7b 0+ 7 g Общее решение этого уравнения: V 4x 7 0= 7 0const e + 7 0??????? (1.2.14) 7a
используя начальное условие
7b 0 + 7g 0 7b 0 + 7g Vx? =V 40 0 ; 4 0V 40 0 = const + ??????? 7" 0 const = V 40 0 - ??????? (1.2.15) ?t=0 7 0 7a 0 7 0 7a
- 14 - ш1.0
имеем
7{ 0 7b 0 + 7g 0 7} 0 4- 7a 0t 7b 0 + 7g V 4x 0 4= 0 72 0 V 40 0 - ??????? 72 0 e 4 0+ ??????? (1.2.16) 7[ 0 7a 0 7 ] 0 7a
4x 0 4t 7! 0 7! так как 72 4 0dx = 7 2 0 V 4x 0 dt (1.2.17) и x? =0 получим 71 0 71 0 ?t=0 5x 40 0 50
1 7( 0 7 b 0+ 7g 0 7) 4 0 4- 7a 4t 0 7( 0 7 b 0+ 7 g 0 7) x = - ??? 7 * 0V 40 7 0- 7 0??????? 7 8 0 e + 7 * 0??????? 7 8 0 t (1.2.18) 7a 9 0 7a 0 70 0 7 9 0 7 a 0 7 0
Для создания демонстрационной программы удобнее использовать формулу не для x, а для 7D 0x,
1 7{ 0 7b 0+ 7g 0 7}{ 0 4- 7a 4t 0 7} 0 7 b 0+ 7 g 7D 0x=x-x 40 0= ??? 72 0V 40 0- ??????? 722 0 1 - e 72 0+??????? t (1.2.19) 7a 0 7[ 0 7 a 0 7 ][ 0 7 ] 0 7 a
ш2.0 При q 41 0=n 41 0e 76 g 41 0= 7a 0V 41x 0- 7a 0V 40x 0, а при q 42 0=n 42 0e 76 g 42 0= 7a 0V 42x 0- 7a 0V 40x 0(1.2.20), где V 40x 0-скорость падения капли до облучения и без напряже- ния,V 41x 0-скорость падения капли до облучения при наличии по- ля,V 42x 0-скорость капли после облучения при наличии поля. Разделив (1.2.20) друг на друга получим: 1.0
7g 41 0 V 41x 0 - V 40x 0 q 41 ??? 4 0= 4 0??????????? = ???? (1.2.21) 7g 42 0 V 42x 0 - V 40x 0 q 42
ш2.0
Определив из формулы (1.2.16) значения для V 40x 0,V 41x 0,V 42x 0и подста- вив их в (1.2.21) можно получить отношение q 41 0 к q 42 0и если оно равно отношению целых чисел то мы вправе утверждать, что оба
- 15 -
заряда кратны одному и тому же значению - элементарному электри- ческому заряду, который по современным данным равен:
e=1.6021892*10 5-19 0Кл.
ш2.0
- 16 -
1 0 11.3 0 1Скин эффект в цилиндрической геометрии.
Скин-эффект (от англ. skin-кожа) - это явление затухания электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящую сре- ду. Переменное во времени электрическое поле 3 0и связанное с ним магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены большей частью в относительно тонком приповерхностном слое толщи- ной 7 d 0, называемом 1 глубиной скин-слоя 0. Происхождение скин-эффекта объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компен- сирует внешние поле в объеме проводника. Скин-эффект проявляется у металлов, в плазме и в других средах с достаточно большой про- водимостью[12,15]. Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s 0, цик- лической частоты электромагнитного поля 7 w 0, от состояния поверх- ности. На малых частотах 7 d 0 велика, убывает с ростом частоты и для металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой с длинной волны 7 l` 010 5-5 0 см. При еще больших частотах, превышающих 1плазменную частоту 0, в проводниках оказывается возможным распрост- ранение электромагнитных волн. Их затухание определяется как внутризонными, так и межзонными электронными переходами. Теоретическое описание скин-эффекта сводится к решению кине- тического уравнения для носителей заряда с целью определения свя- зи тока с полем и последующему решению уравнений Максвелла. Наи- более просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет место, когда 7 d 0 велика по сравнению с эффективной длиной 7 0 пробега l электронов. Величина l определяется расстоянием, проходимым
- 17 -
электроном за время 7 t 0 между двумя актами рассеяния( 7t 0-время релак- сации) либо за период поля 1/ 7w 0 в зависимости от того, какая из этих величин меньше. В общем случае: v l= ????????, (1.3.1) 7t 5-1 0-i 7w где v-скорость электрона. Известно 3 вида скин-эффекта: нормальный, аномальный и нели- нейный. В случае аномального скин-эффекта происходит рассмотрение си- туации, когда l > 7 d 0; он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых ме- таллах при низких температурах. При достаточно высоких значениях напряженности электромагнит- ного поля, когда параметры среды, например проводимость 7 d 0, начи- нают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т.е. толщина скин-слоя 7 d 0 также начинает зависеть от интенсивности электромагнитного поля. Подробно рассмотрим распределение плотности тока по сечению проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный ток, т.е. нормальный скин-эффект. Точное решение зависит, вооб- ще говоря, не только от формы проводника, но и от способа воз- буждения в нем тока, т.е. от характера внешнего переменного маг- нитного поля, индуцирующего ток. Есть однако важный случай, ког- да распределение тока можно считать независящим от способа его возбуждения. Это ток в тонком проводе, толщина которого мала по сравнению с его длиной. При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода будем считать последний прямолинейным. При этом электрическое по-
- 18 -
ле параллельно оси провода, а вектор напряженности магнитного по- ля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода[12]. Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен. Действи- тельно, в силу симметрии на поверхности провода вектор напряжен- ности электрического поля зависит только от времени. Но при таком граничном условии уравнения 76 6 div E = 0 и rot E = 0 7 0 7 0 (1.3.2) 76 в пространстве вне провода имеет лишь решение E = const 7 0не зави- сящие от пространственных координат во всем пространстве. Отсюда следует, что магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному мгновенному значению переменного тока.[15] Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса R. Исполь- зуя уравнения Максвелла и выражение для rot в цилиндрической системе координат: ш1.0 76 0 ? 7 ( 0 4 7 ) ( ) 76 0 7ч 0B 7ы 0 ? 76 2 01 7 0 7ч 0E 4z 7ч 0E 7f 4 726 2 ч 0E 4r 7 ч 0E 4z 726 rotE=-???? ; ? rotE= 72 0- 7 0???? 4 0- 4 ????? 72 0e 4r 0+ 72 0???? + 4 0???? 72 0e 7f 0+ 7ч 0t ? 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2 (1.3.3) ? 7 9 0 4 70 9 0 76 0 ? 76 0 76 ч 0D ? 7 ( 0 7 ) rotH=j+???? ; ? 7 2 01 7 ч 0(rE 7f 0) 7 01 7 ч 0E 4z 7 26 7ч 0t 7я 0 ? 7 0 + 72 0- 7 0?????? 7 0- 4 0- 7 0????? 72 0e 4z 0 (1.3.4) (1.3.5) ? 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2 Закон Ома ? 7 9 0 7 0 76 0 76 0 ? j= 7s 0E ? 7 ( 0 4 7 ) ( ) (1.3.6) ? 76 2 01 7 0 7ч 0H 4z 7ч 0H 7f 4 726 2 ч 0H 4r 7 ч 0H 4z 726 ? rotH= 72 0- 7 0???? 4 0- 4 ????? 72 0e 4r 0+ 72 0???? + 4 0???? 72 0e 7f 0+ Материальные урав-? 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2 нения ? 7 9 0 4 70 9 0
- 19 - ш1.0
76 6 0 7) 0 ? 7( 0 7 ) D= 7ee 40 0E 72 0 (1.4.7) ? 72 01 7 ч 0(rH 7f 0) 7 01 7 ч 0H 4z 7 26 76 0 76 0 72 0 ? 7 0+ 72 0- 7 0?????? 7 0- 4 0- 7 0????? 72 0e 4z 0 (1.3.8) B= 7mm 40 0H 70 0 ? 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2 79 0 7 0
76 0 7 6 76 ч 0H 76 0 76 ч 0E rotE=- 7mm 40?? 0 (1.3.9); rotH= 7s 0E+ 7ee 40?? 0 (1.3.10); 7ч 0t 7 0 7 ч 0t
7ч Из симметрии задачи видно, что ??=0, тогда получим: 7чf 7ч 0E 7f ч 0H 4r 7 0 ? 7 ч 0H 7f 4 7 ч 0E 4r - ??? =- 7mm 40 0??? (1.3.11) ? - ???= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0??? (1.3.12) 7ч 0z 7 ч 0t 7 0 ? 7 ч 0z 7 4 7 ч 0t ? 7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 ? 7 ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f ??? - ???=- 7mm 40 0??? (1.2.13) ? ??? - ???= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0???(1.3.14) 7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t ? 7 ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t ? 1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 0 ? 7 01 7ч 0(rH 7f 0) 7 0 7ч 0E 4z - ??????=- 7mm 40 0??? (1.3.15) ? - ??????= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0??? (1.3.16) r 7ч 0r 7ч 0t ? 7 0r 7ч 0r 7 0 7ч 0t
Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы: ш1.0 1 7 ч 0(rH 7f 0) 7 ч 0E 4z 0 7) 0 ? 1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 7 ) - ??????= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0??? (а) 72 0 ? - ??????=- 7mm 40 0??? 7 2 r 7 0 7ч 0r 7 ч 0t 72 0 ? r 7ч 0r 7ч 0t 7 2 72 0 ? 7 2 7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 72 0 ? 7ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f 2 ??? - ???=- 7mm 40 0??? (б) 78 0(1)? ??? - ???= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0??? 7 8 0(2) 7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t 72 0 ? 7ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t 7 2 72 0 ? 7 2 7чHf 0 7 4 7ч 0Er 72 0 ? 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4r 7 2 - ???= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0??? (в) 72 0 ? - ??? =- 7mm 40 0??? 7 2 7ч 0z 7 0 7 4 7ч 0t 70 0 ? 7ч 0z 7 ч 0t 7 0 ? С компонентами E 4z 0,H 7f 0,E 4r 0 эта сис-?С компонентами H 4z 0,E 7f 0,H 4r 0 эта сис- тема описывает скин-эффект. ?тема описывает вихревые токи.
ш2.0 Будем рассматривать только первую систему, описывающую скин- эффект. Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле перио- дически меняется во времени, то оно будет периодически меняться и во всех остальных точках проводника. При отыскании периодических решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобно пользовать- ся комплексной показательной функцией, а затем с помощью извест-
- 20 -
ной формулы Эйлера: ш1.0 4i 7ф e 4 = 0cos 7a 0+isin 7a 0; (1.3.17) ш2.0
перейти к вещественной форме решения. Кроме того отметим, что уравнения в системе (1) линейны и од- нородны и следовательно для них выполняется принцип суперпозиции: сумма произвольного числа решений уравнения сама является решени- ем того же уравнения. Ищем решение системы (1) в виде: ш1.0
i 7w 0t 7 ч ) E 4z 0=E 4z 0(r)e ??=i 7w 2 i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 2 0 (1.3.18) H 7f 0=H 7f 0(r)e 7 ? ч 2 i 7w 0t => ??=-ik 4z 7 2 E 4r 0=E 4r 0(r)e 7 ч 0z 7 0
Положим k 4z 0=0 так, как мы ищем колебательное решения, а не
волновое. Кроме того считаем, что 7 s > e 40 7ew 0 поэтому 7 e 0=0.
Тогда: ? ik 4z 0H 7f 0= 7s 0E 4r 0 => E 4r 0=0 (1.3.19) ? ? ? 7s 0 7 ч 0E 4z 7ч 0E 4z 7я 0 ? H 7f 0 = ???????? ????? (1.3.22) ????? = i 7mm 40 7w 0H 7f 0 (1.3.20) ? i 7mm 40 7ws 0 7ч 0r 7ч 0r ? ? 7ч 0H 7f 0 1 ? ??? + ? H 7f 0 = 7 s 0E 4z 0 (1.2.21) ? 7ч 0r r
7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z ???? + ? ??? 4 0- i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.23) 7ч 0r 52 0 r 7ч 0r
Рассмотрим 2 возможных случая:
1) _Снаружи проводника. ( 7s 0=0)
- 21 - ш1.0
? ? 7ч 52 0E 4z 0 7 01 7 ч 0E 4z 0 1 7 ч 0 ? 7ч 0E 4z 0 ? 7 ч 0E 4z ???? + ? ??? = 0 => ? ??? r??? ? = 0 => r??? = const 41 7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r r 7 ч 0r? 7 0 7ч 0r ? 7 ч 0r ? ?
7ч 0E 4z 0 const 41 7 ! 0 const 41 ??? 4 0= ?????? => E 4z 0= 72 0 ?????? dr (1.3.24) 7ч 0r 7к 0 r 7 1 0 r
E 4z 0=const 41 0ln(r)+const 42 0 (1.3.25) ш2.0
Т.к. при r 76 поле не может бесконечно возрастать => const 41 0=0, следовательно E=const 42 0 т.е. не зависит от пространственных коор- динат вокруг проводника. 2) _ Внутри проводника
7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z ???? + ? ??? 4 0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.26) 7ч 0r 52 0 r 7ч 0r
Очевидны граничные условия: ш1.0 I E 4z 0? =E 4z 0? и H 7f 0? =H 7f 0? = ??? ?r=R ?r=R ?r=R ?r=R 2 7p 0R (1.3.27)
Таким образом мы получили уравнение:
7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z ???? + ? ??? 4 0+ k 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.28) 7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r
где k 52 0=-i 7mm 40 7ws
7ы 0 ? 1 ? 7ч 0E 4z H 7f 0=? ????? ? ??? (1.3.29) ? i 7mm 40 7w 0 ? 7ч 0r
ш2.0 Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана ( или
- 22 - ш2.0
Вебера )[8,18]:
E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr)+BN 40 0(k 41 0r) (1.3.30)
Однако N 40 0(x) 76S 0при x 76 00, поэтому мы вынуждены отбросить это решение и окончательно записать:
E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr) (1.3.31)
Или общее решение: ш1.0 i 7w 0t E(r,z,t)=AJ(kr)e (1.3.32)
7| 0 1-i 7| 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7| т.к. 7? 0-i=????;k= 7?mm 40 7ws 5 ???? 0;k= ? ????; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 7| | | 7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02 ш2.0 7d 0 - глубина проникновения.
Как известно, расчет значений функции Бесселя комплексного аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной сте- пенью наглядности. Вместе с тем хорошо известно, что уравнение вида:
ш1.0
7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z ???? + ? ??? 4 0- i 7l 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.33) 7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r
7l 52 0= 7mm 40 7ws 0 ; 7 l 0=1/ 7d ш2.0
имеет решение в виде комбинации функций Кельвина:
- 23 - ш2.0
E 4z 0=A[ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)]+B[ker 40 0( 7l 0r)+kei 40 0( 7l 0r)] (1.3.34)
Причем функции ker 40 0( 7l 0r) и kei 40 0( 7l 0r) мы должны отбросить по тем же соображениям, что и функции Неймана в предыдущем решении. Это же легко подтвердить из следующих соображений: ш0.9 7| 0 -i 7p 0/4 (1-i)/ 7? 02 7 0=e (1.3.35)
Тогда согласно [8] получим: -i 7p 0/4 ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)=I 40 0( 7l 0re ) (1.3.36) ш2.0
Очевидно, что : ber 40 0( 7l 0r)=Re{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.37) bei 40 0( 7l 0r)=Jm{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.38)
Очевидно, что общее решение будет иметь вид : ш0.8
i 7w 0t E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}e (1.3.39) ш1.0
Преобразуем последнее выражение :
E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}{cos( 7w 0t-k 4z 0z)+isin( 7w 0t)}= ? ? =A?{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)-ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}?+ ? ?
? ? +i?{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)+ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}?= ? ? ? 7 | =A?((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 7 0cos( 7w 0t+ 7f 0)+ ? 7| 0 ? +i((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0 sin( 7w 0t+ 7f 0)?; (1.3.40) ? bei 40 0(r/ 7d 0) где tg 7f 0=??????????? ber 40 0(r/ 7d 0)
7| E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0{cos( 7w 0t+ 7f 0)+isin( 7w 0t+ 7f 0)} (1.3.41)
- 24 -
ш2.0 Далее необходимо перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл. Как было показа- но выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным решениям. ш1.0 7| E 4z1 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.42) 7| E 4z2 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0sin( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.43) 7| где 7 f 0 - определяется выше, а 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
ш2.0 Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно перейти к косинусу путем изменения начала отсчета времени. Окончательно получим :
ш1.0 ??????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+(bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.44) ? ? ? ? ? ? bei 40 0(r/ 7d 0) 7 0 7| 0 ? ? где 7 f 0= arctg??????????? ; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7 w 0=2 7pn 0 ? ? ber 40 0(r/ 7d 0) ? ??????????????????????????????????????????????????????????? ш2.0
7n 0 - частота переменного тока 7m 0 - магнитная проницаемость проводника 7m 40 0=4 7p 0*10 5-7 0 Гн/м - магнитная постоянная 7s 0 - проводимость проводника
Постоянную A можно определить зная полный ток в любой момент времени: ш1.0 7 4R R 7! ! ! I(t)= 72 0jdS= 72s 0E 4z 02 7p 0rdr=2 7ps2 0E 4z 0(r,t)rdr (1.3.45) 71 1 1 50 0
- 25 - ш1.0
7| Графики функций ber 40 0(x),bei 40 0(x), 7? 0((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+bei 40 0(r/ 7d 0) 52 0), 7f 0(x) в приложении (на рис. 4,5).
ш1.0 При высоких частотах.
x>>1 7| | | ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.46)
7| | | ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.47)
Тогда x=r/ 7d
? 7 | | E 4z 0(r,t)=A?(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)cos 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8)+ ? 7| 0 7| 0 5? +(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)sin 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 5? 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.48) 5?
7| | 7? 02 7p 0x 7 0sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 7 | 7f 0=arctg???????????????????????=arctg{tg((x/ 7? 02)- 7p 0/8)} (1.3.49) 7| | 7? 02 7p 0x 7 0cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8)
7| 7f 0=(x/ 7? 02)- 7p 0/8
???????????????????????????????????????????????????????????????? ?E 4z 0(r,t)=A(2 7p 0r/ 7d 0) 5-1/2 0exp(r/ 7d 02 51/2 0)cos( 7w 0t+(r/ 7d 02 51/2 0)- 7p 0/8) (1.3.50)? ???????????????????????????????????????????????????????????????? ш2.0
При малых частотах.
x 76 00 ber(x) 7~ 01 ; bei(x) 7~ 0x 52 0/4 ; tg 7f~ 0x 52 0/4 7~f
Тогда E 4z 0(r,t)=A(1+x 54 0/16) 51/2 0cos( 7w 0t+x 52 0/4) (1.3.51)
ш2.0 - 26 -
1 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии.
Цилиндрические функции табулированы, однако их машинный рас- чет является достаточно длительной по времени задачей. Покажем, что плоской геометрии решения очень похожи на решения в цилиндри- ческой геометрии, причем функции sin, exp, cos считаются намного быстрее. Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, по которой течет ток (шина) (рис.6) Ф- ш1.0 ? 7 6 6 6 76 0 ? 4 0? e 4x 0 4 0e 4y 0 4 0e 4z 0 ? ? ? ? ? 76 0 7ч 0B ? 76 0 ? ? 4 76 4 0? 7ч 0E 4z 0 7ч 0E 4y 0? 76 4 0? 7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 0? rotE=-?? ? 7 0rotE=? 7ч 0/ 7ч 0x 7 ч 0/ 7ч 0y 7 ч 0/ 7ч 0z?=e 4x? 0??? - ????+e 4y? 0??? - ????+ 7ч 0t ? ? ? 4 0? 7ч 0y 7ч 0z ? 4 0? 7ч 0z 7ч 0x ? (1.4.1) ? ? E 4x 0 E 4y 0 E 4z 0 ? ? ? ? ? 76 0 ? 76 0 76 0 7ч 0D ? rotH=j+?? ? ? ? 7ч 0t ? 76 4 0? 7ч 0E 4y 0 7ч 0E 4x 0? (1.4.2) ? +e 4z? 0??? - ???? (1.4.3) 76 6 0 ? 4 0? 7ч 0x 7ч 0y ? j= 7s 0E 7о 0 ? ? ? 76 4 76 0 ????????????????????????????????????????????????????? D= 7ee 40 0E ? 7 6 6 0 76 6 6 76 4 76 0 ? rotE=- 7mm 40 7ч 0H/ 7ч 0t (1.4.4); rotH= 7s 0E+ 7ee 40 7ч 0E/ 7ч 0t (1.4.5) B= 7mm 40 0H ? Из симметрии задачи очевидно, что 7 ч 0/ 7ч 0y=0
7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x 0 4? 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x -??? =- 7mm 40 0??? (1.4.6) 4? 0 -??? = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0??? (1.4.7) 7ч 0z 7 ч 0t 4 0 4? 0 7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t 4? 7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 0 4? 0 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y 4??? 0 - ??? =- 7mm 40 0??? (1.4.8) 4? 0 ??? - ??? = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0??? (1.4.9) 7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4? 0 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t 4? 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z 0 4? 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z ??? =- 7mm 40 0??? (1.4.10) 4? 0 ??? = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0??? (1.4.11) 7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4? 0 7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t
Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:
7) 0 ? 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z 7 2 0 ? 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x ??? = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0??? (a) 78 0 (a)? -??? =- 7mm 40 0??? 7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t 7 0 0 ? 7ч 0z 7 ч 0t
- 27 -
7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 7 ) 0 ? 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y 4??? 0 - ??? =- 7mm 40 0??? (b) 72 0 ? ??? - ??? = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0??? 7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 0 7 ч 0t 7 0? ? 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t 78 0 (a)? 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x 7 2 0 ? 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z -??? = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0??? (c)? ? ??? =- 7mm 40 0??? 7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t 7 2 0 ? 7ч 0x 7 ч 0t 70 0 ? ????????????????????????????????????????????????????????????????? С компонентами E 4z 0,H 4y 0,E 4x 0, эта ? С компонентами H 4z 0,E 4y 0,H 4x 0, эта система описывает скин-эффект ? система описывает вихревые токи ????????????????????????????????????????????????????????????????? Занимаемся только системой (a) и ищем решения в виде: ш1.0 7) i 7w 0t 7 ч 2 E 4z 0=E 4z 0(r)e ??=i 7w 2 i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 8 0 (1.4.12) H 4y 0=H 4y 0(r)e 7 ? ч 2 i 7w 0t => ??=-ik 4z 7 2 E 4x 0=E 4x 0(r)e 7 ч 0z 7 2 70 7ч 0H 4y ???= 7s 0E 4z 0 (1.4.13) 7ч 0x
7ч 0E 4z 0 7ы ??? = i 7mm 40 7w 0H 4y 0 (1.4.14) 7ч 0x
E 4x 0= 0 (1.4.15)
7s 0 7 ч 0E 4z H 4y 0= ??????? 7 0??? (1.4.16) i 7mm 40 7ws ч 0x
7ч 52 0E 4z ???? - i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.17) 7ч 0x 52
Таким образом имеем уравнения:
Внутри проводника ? Снаружи проводника ( 7s 0=0) ????????????????????????????????????????????????????????????????? 7ч 52 0E 4z 0 ? 7ч 52 0E 4z ???? - i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.18) ? ???? = 0 (1.4.19) 7ч 0x 52 0 ? 7ч 0x 52 ? Очевидны граничные условия: ? Решение: ? E 4z 0=const 41 0x+const 42 0 (1.4.22) E 4z 0? = E 4z 0? (1.4.20) ? Так как поле не может бес- ?r=R ?r=R ? конечно возрастать то: 4внутри 5 4снаружи 0 ? const 41 0=0 ? Поле вне проводника пос-
- 28 - ш1.0
H 4y 0? = H 4y 0? (1.4.21) ? тоянно, не зависит от ?r=R ?r=R ? пространственных координат 4внутри снаружи ? ? По теореме о циркуляции легко ? E 4z 0=const 42 получить: 5? 76 0 76 0 5? 0 7ee 40 0 1 7 ч 0E 4z 7# 0Hdl=I (1.4.23) 5? 0 H 4y 0= ??? ? 7 0??? 7?? 0 (1.4.24) 5? 0 7mm 40 7 s ч 0x 5? 0 5? 0???? I 5* 0 5? 0 5неопределенность 7H 4y 02l=I 5* 0l => H 4y 0=???? (1.4.25) 5? 0 Магнитное поле такое же, 2 5? 0 как оно было бы вокруг про- 5? 0 вода с постоянным током, I 5* 0 - линейная плотность тока 5? 0 равным мгновенному значению 5? 0 переменного тока. ш1.0
Таким образом имеем уравнение:
7ч 52 0E 4z ???? - k 52 0E 4z 0=0 (1.4.26) 7ч 0x 52 где k 52 0=i 7mm 40 7ws
Решение этого уравнения хорошо известно[18]:
E(x) = Ae 5ikx 0+Be 5-ikx 0 (1.4.27)
7| 0 1-i 7| 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7| т.к. 7? 0-i=????;k= 7?mm 40 7ws 5 ???? 0;k= ? ????; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 7| | | 7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02
из геометрии задачи видно, что E 4z 0(x)=E 4z 0(-x) => A=B. Следова- тельно решение уравнения можно записать в виде:
E(x) = A{e 5ikx 0+e 5-ikx 0} (1.4.28)
Тогда общее решение можно записать в виде ( переобозначив не- которые выражения: x/(2 51/2 7s 0)=y, а 7w 0t-k 4z 0z= 7a 0 ): 4i 7ф E 4z 0=A{e 5y 0e 5iy 0+e 5-y 0e 5-iy 0}e =A{e 5y 0(cosy+isiny)+e 5-y 0(cosy-isiny)}*
*{cos 7a 0+isin 7a 0}=A{(e 5y 0+e 5-y 0)cosy+i(e 5y 0-e 5-y 0)siny}{cos 7a 0+isin 7a 0}=
? =A?{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0-(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}+ ?
? +i{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0+(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}?= ?
A{(e 5y 0+e 5-y 0)cos 52 0y+(e 5y 0-e 5-y 0)sin 52 0y} 51/2 0{(cos 7f 0sin 7a 0-sin 7f 0cos 7a 0)+
- 29 -
+i(cos 7f 0sin 7a 0+sin 7f 0cos 7a 0)} (1.4.29) ш1.0
(e 5y 0-e 5-y 0)siny 5 0e 5y 0-e 5-y где tg 7f 0=?????????????? 5 0= 5 0???????? tgy (e 5y 0+e 5-y 0)cosy 5 0e 5y 0+e 5-y
Тогда вправе переписать:
????????????????????????????????????????????????? 5? 0????????? ? ? ? E 4z 0=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0{cos( 7a 0+ 7f 0)+isin( 7a 0+ 7f 0)} (1.4.30) ? ? ? ??????????????????????????????????????????????????????????? ш2.0
Далее следует перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл. Приведенное выше комплексное решение эквивалентно двум вещественным. Оба решения одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в косинус, путем изменения начала отсчета времени. По этим же соображениям путем изменения начала системы отсчета всегда можно положить z=0. Окончательно получим: ш1.0
???????????????????????????????????????????????????????????? ? E 4z 0(r,t)=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.31) ? ? ? ? e 5y 0-e 5-y 0 x 7| 0 ? ? 7f 0=arctg 5 0???????? tgy ; y=??????? ; 7 d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7w 0=2 7pn 0 ? ? e 5y 0+e 5-y 0 2 51/2 7d 0 ? ????????????????????????????????????????????????????????????
Т.е. решения аналогичны цилиндрическим.
Интересен предел высоких частот: 7w6; 7d6;y 76S
????????????????????????????????????? ? ? ? E 4z 0(x,t)=Ae 5y 0cos( 7w 0t+y) (1.4.32) ? ? ? ?????????????????????????????????????
x y= ??????? (1.4.33) 2 51/2 7d
- 30 -
Предел низких частот: 7w6 00; 7d6 00;y 76 00 ш1.0
??????????????????????????????????????????????????????? ? E 4z 0(r,t)=A(1+2y+1-2y+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.34) ? ? ? ? ? ? 1+y-1+y ? ? tg 7f 0=???????y=y 52 0 ? ? 1+y+1-y ? ? ? ? ? ? E 4z 0(r,t)=A(2+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.35) ? ? ? ? ? ? E 4z 0(r,t)=A(2(1+cos2y)) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.36) ? ? ? ? ? ? E 4z 0(r,t)=A2?cosy?cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.37) ? ??????????????????????????????????????????????????????? ш2.0
Важно заметить, что в формулах (1.3.31) и (1.3.44) существует дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошо заметна при сравнении рисунков 10 и 11. Очевидно, что существует приповерхностный слой с плотностью тока противоположно направленной поверхностному току. Для наблюдения этого эффекта нужно сравнить графики в прог- раммах skin.exe (с учетом фазового слагаемого) и skin_1.exe (без учета).
ш2.0 - 31 -
_ 2Глава 2
1" Математические методы исследования процессов "
1 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (далее ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явле- ний в различных областях науки и техники. В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неиз- вестных величин входят функция y(x) и ее первые n производных по аргументу x
7f 0(x,y,y*,...y 5(n) 0)=0. (2.1.1)
Из теории ОДУ известно, что уравнение (2.1.1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка
7f 4k 0(x,y 41 0,y* 41 0,y 42 0,y* 42 0,...,y 4n 0,y* 4n 0)=0, (2.1.2)
где k=1,2,...,n. Уравнение (2.1.1) и эквивалентная ему система (2.1.2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять ис- комые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают- ся три типа задач, для которых доказано существование и единс- твенность решений. Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными услови-
- 32 -
ями. Для таких задач кроме исходного уравнения (2.1.1) в некото- рой точке x 40 0 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y(x) и ее производных
y(x 40 0)=y 40 0 ; y*(x 40 0)=y 410 0,...,y 5(n-1) 0(x 40 0)=y 4n-1,0 0. (2.1.3)
Для системы ОДУ типа (2.1.2) начальные условия задаются в виде
y 41 0(x 40 0)=y 410 0 ; y 42 0(x 40 0)=y 420 0,...,y 4n 0(x 40 0)=y 4n0 0. (2.1.4)
Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x 7е 0[x 40 0,x 4k 0], то такие усло- вия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок ОДУ, для которого может быть сформулирована граничная задача, равен двум. Третий тип задач для ОДУ - это задачи на собственные значе- ния. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y(x) и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров 7 l 41 0, 7l 42 0, 7l 43 0,..., 7l 4m 0, которые называются собственными зна- чениями. Для единственности решения на интервале [x 40 0,x 4k 0] необхо- димо задать n + m граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов дис- сипации, структуры электромагнитных полей и механических напряже- ний в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффици- ентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей по-
- 33 -
лей волновых процессов и т.д. К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не уда- ется построить аналитическое решение задачи через известные функ- ции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений [10]. Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типа задач.
ш2.0 - 34 -
1 2.2 0 1Задача Коши. (Метод Рунге-Кутту 2-го порядка).
Систему ОДУ (2.1.2) часто удается представить в каноническом виде, в так называемой форме Коши ш0.9
dy 4k 0(x) ???????? = f 4k 0(x,y 41 0,y 42 0,...,y 4n 0), (2.2.1) dx
ш2.0 где k=1,2,...,n. При формулировке задачи Коши система (2.2.1) дополняется на- чальными условиями (2.1.4). Для простоты рассмотрим задачу Коши для одного уравнения типа (2.2.1), а затем полученные алгоритмы обобщим на систему n уравнений ш0.9
dy(x) ??????? = f(x,y), y(x 40 0)=y 40 0. (2.2.2) dx
ш2.0 В окрестности точки x 40 0 функцию y(x) разложим р ряд Тейлора ш0.9
(x-x 40 0) 52 y(x)=y(x 40 0)+(x-x 40 0)y*(x 40 0)+?????????y**(x 40 0)+..., (2.2.3) 2
ш2.0 который можно применить для приближенного определения искомой функции y(x). D njxrt x 40 0 + h при малых значениях h можно ограни- чится двумя членами ряда (2.2.3), тогда
y(x 40 0+h)=y 40 0+hy*(x 40 0)+O(h 52 0), (2.2.4)
где O(h 52 0)-бесконечно малая величина порядка h 52 0. Но такой метод дает очень существенные погрешности. Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, исполь- зующего разложение искомого решения в ряд Тейлора (2.2.3), необ-
- 35 -
ходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых час- тей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f(x,y) в точ- ках на интервале [x 40 0,x 40 0+h], которые выбираются из условия наи- большей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от стар- шей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычис- лительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности [10]. Рассмотрим схемы второго порядка точности. Для этого порядка точности полечено однопараметрическое семейство схем вида:
y(x 40 0+h)=y 40 0+h[(1- 7a 0)f 40 0+ 7a 0f(x 40 0+ 7g 0h,y 40 0+ 7g 0f 40 0h)]+O(h 53 0), (2.2.5)
где 0 7 0
f=f(x,y), 7 g 0=(2 7a 0) 5-1 0.
Локальная погрешность схем (2.2.5) имеет 3-й порядок, гло- бальная 2-й; т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме, равномер- но сходится к точному решению с погрешностью O(h 52 0). Для параметра 7 a 0 наиболее часто используют значения 7 a 0=0,5 и 7a 0=1. В первом случае формула (2.2.5) приобретает вид
y(x 40 0+h)=y 40 0+h[f 40 0+f(x 40 0+h,y 40 0+hf 40 0)]/2, (2.2.6)
геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 7 Вначале вычисляется приближенное решение ОДУ в точке x 40 0 + h по формуле Эйлера y 4Э 0= 4 0y 40 0+ 4 0hf 40 0. Затем определяется наклон интег-
- 36 -
ральной кривой в найденной точке f(x 40 0+h,y 4Э 0), и после нахождения среднего наклона на шаге h находится уточненное значение y 4RK 0=y(x 40 0+h). Схемы подобного типа называют "прогноз-коррекция", что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о пове- дении интегральной кривой [10]. С целью экономии памяти при программировании алгоритма (2.2.6), обобщенного на системы ОДУ, изменим его запись с учетом того, что y 40 0=y 4Э 0-hf 40
y 4k 0(x 40 0+h)=y 4kЭ 0+h[f 4k0 0-f 4k 0(x 40 0+h,y 4kЭ 0)]/2, (2.2.7)
где k - номер решения для системы ОДУ. Во втором случае при 7a 0=1 от формулы (2.2.5) переходим к схеме
y(x 40 0+h)=y 40 0+hf(x 40 0+h/2,y 40 0+hf 40 0/2), (2.2.8)
геометрический смысл которой отражает рис. 8. Здесь при прогно- зе определяется методом Эйлера решение в точке x 40 0+h/2
y 41/2 0=y 40 0+hf 40 0/2, (2.2.9)
а после вычисления наклона касательной к интегральной кривой в средней точке решение корректируется по этому наклону.
ш2.0 - 37 -
1 2.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка.
Для построения вычислительных схем методов Рунге-Кутты чет- вертого порядка в тейлоровском разложении искомого реше...
ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами реферата (доклада, курсовой) урезан на треть (33%)!
Чтобы просматривать этот и другие рефераты полностью, авторизуйтесь на сайте:
|
|
|
Добавлено: 2010.11.04
Просмотров: 1522
|
Notice: Undefined offset: 1 in /home/area7ru/area7.ru/docs/linkmanager/links.php on line 21
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательная! |