Реферат: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции Примеры Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики. Решение: Рассмотрим 1-ю функцию y = arcsin(1/x) Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,   | x | ≥ 1 , ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ ) Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] ) Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x) Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ ) Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2). Решение: Д(f): [-1;1] Четная f(x) убывает на пр. [0;1] f(x) возрастает на пр. [-1;0] Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x). Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0. f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0. Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1)) Решение: Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках: [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ ) X 0 < x < 1 < x < +∞ u=1/(x2-1) -1 ↘ + ∞ - ∞ ↘ 0 y=arctg(u) - π/4 ↘ π/2 - π/2 ↘ 0 Тригонометрические операции над аркфункциями Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций: sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є [-1;1] ) tg(arctg(x)) = x ,ctg(arcctg(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами: Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями. Аргумент функция arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) sin sin(arcsin(x))=x cos x tg x 1 / x ctg 1 / x x Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x) Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем Из тождества следует: Имеем Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение Решение: Применяем формулу , имеем: Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: Пример №3. Пользуясь Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: Пример №5. Положив в формулах ,и , получим: , Пример №6. Преобразуем Положив в формуле , Получим: Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная. Соотношения между аркфункциями Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг. Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества: Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов). Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности. Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinα θ заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), ρледовательно Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса: А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса: Так, например: Аналогично: Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней). Выражение через арктангенс. Пусть , тогда Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-π/2; π/2). Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2). Следовательно, (1) (в интервале ( -1 : 1 ) Выражение через арксинус. Т.к. , то (2) в интервале Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество (3) Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например, Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции. Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях. Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае , а для функции имеем: так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное. Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке: Х>0X<0 При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и Таким образом, имеем окончательно: если ,(4) , если График функции Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом: , Аналогично установим, что при имеем: , если же , то Таким образом: Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения при имеем: Если же х<0, то Итак, (6) Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то При имеем: Итак, (7) Выражение арктангенса через арккотангенс. (8) При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то . Выражение арксинуса через арккотангенс. (9) Выражение арккотангенса через арксинус. (10) Выражение арккотангенса через арктангенс. (11) Примеры: Пример №1. Исследовать функцию Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим: На чертеже изображен график данной функции Пример №2. Исследовать функцию Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4). Т.к. , то получаем , откуда: на сегменте [0;1] Пример №3. Исследовать функцию Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4). Приняв во внимание равенство получим: Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями. При преобразовании выражений вида следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений: Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x; и Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х. Так, например, при х=π/6 имеем: но при х=5π/6 В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π. Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла. Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как , то имеем y=π-υ; в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-υ. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим: y=х-2π Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то y=-π-υ Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то y=х+2π Вообще, если , то y=х-2πk и если , то y=(π-х)+2πk График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев. Рассмотрим функцию Согласно определению арккосинуса, имеем: cos y = cos x, где Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и , поэтому: Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x Вообще, если , то y = x - 2πk Если же , то y = -x + πk Графиком функции является ломаная линия Формулы сложения Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. () В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции. Сказанное пояснено ниже на числовых примерах. Примеры. Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где ; В данном случае (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому . Вычислив синус дуги γ, получим: Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем: Откуда Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. , а . Вычисляем В рассматриваемом примере , так как дуги γ и заключены в различных интервалах, , а В данном случае Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в пред... ВНИМАНИЕ! Текст просматриваемого вами реферата (доклада, курсовой) урезан на треть (33%)! Чтобы просматривать этот и другие рефераты полностью, авторизуйтесь  на сайте: Ваш id: Пароль: РЕГИСТРАЦИЯ НА САЙТЕ