Реферат: Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) Оглавление I. Введение II. Уравнения с параметрами. § 1. Определения. § 2. Алгоритм решения. § 3. Примеры. III. Неравенства с параметрами. § 1. Определения. § 2. Алгоритм решения. § 3. Примеры. IV. Список литературы. Введение Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами. В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ. § 1. Основные определения Рассмотрим уравнение ¦ (a, b, c, …, k , x)=j (a, b, c, …, k , x), (1) где a, b, c, …, k , x -переменные величины. Любая система значений переменных а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k , x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎ А, bÎ B, …, xÎ X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным. Переменные a, b, c, …, k , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z. Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если: а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот. § 2. Алгоритм решения. Находим область определения уравнения. Выражаем a как функцию от х. В системе координат хОа строим график функции а=¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения. Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ (-¥ ;+¥ ) с графиком функции а=¦ (х).Если прямая а=с пересекает график а=¦ (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦ (х) относительно х. Записываем ответ. § 3. Примеры I. Решить уравнение (1) Решение. Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а : или График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а. Если а Î (-¥ ;-1]È (1;+¥ )È , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х. Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение . Если а Î , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и . Если а Î , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет. Ответ: Если а Î (-¥ ;-1]È (1;+¥ )È , то ; Если а Î , то , ; Если а Î , то решений нет. II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня. Решение. Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции . В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную Ответ: . III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет решения. Решение. Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс. Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые и Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых. Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то . Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы В этом случае уравнение имеет один корень, откуда находим : Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение. Ответ: а Î (-¥ ;-3] È ( ;+¥ ). IV. Решить уравнение Решение. Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде Это уравнение равносильно системе Уравнение перепишем в виде . (*) Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений. Если , то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*). При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - . Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям Пусть , тогда . Система примет вид Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5). Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но , поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение . Ответ: если аÎ (-¥ ;3), то решений нет; если а=3, то хÎ [3;5); если aÎ (3;7), то ; если aÎ [7;+ ¥ ), то решений нет. V. Решить уравнение , где а - параметр. (5) Решение. При любом а : Если , то ; если , то . Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует . По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения. Ответ: если , то если , то ; если , то решений нет; если , то , . VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы (1) и (2) имеют одинаковое число решений ? Решение. С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему (3) равносильную системе (1). Система (2) равносильна системе (4) Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений. Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре. Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если . Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых. При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ). Для решения этого рассмотрим уравнение , которое удобнее переписать в виде Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения: если , т.е. если , то система (3) имеет два решения; если , то система (3) имеет три решения; если , то система (3) имеет четыре решения. Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда . Ответ: II. Неравенства с параметрами. § 1. Основные определения Неравенство ¦ (a, b, c, …, k , x)>j (a, b, c, …, k , x), (1) где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры. Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции ¦ (a, b, c, …, k , x) и j (a, b, c, …, k , x имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров. называется допустимым значением х, если ¦ (a, b, c, …, k , x) и j (a, b, c, …, k , x принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров. Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1). Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство ¦ (a, b, c, …, k , x0)>j (a, b, c, …, k , x0) верно при любой системе допустимых значений параметров. Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства. Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно. Два неравенства ¦ (a, b, c, …, k , x)>j (a, b, c, …, k , x) и (1) z (a, b, c, …, k , x)>y (a, b, c, …, k , x) (2) называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров. § 2. Алгоритм решения. Находим область определения данного неравенства. Сводим неравенство к уравнению. Выражаем а как функцию от х. В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству. Исследуем влияние параметра на результат. найдём абсциссы точек пересечения графиков. зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥ Записываем ответ. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy. § 3. Примеры I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство Решение. В области определения параметра а, определённого системой неравенств Простая ссылка на эту работу: Ссылка для размещения на форуме: HTML-гиперссылка:

Добавлено: 2010.11.21 Просмотров: 3838