РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕСИТЕТ
(МАТИ им. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО)
КАФЕДРА "ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ"
РЕФЕРАТ по ДИСЦИПЛИНЕ
"Страховое дело"
Расчет тарифных ставок в страховании.
ВЫПОЛНИЛ:
Студент
Группы 6МФ-III-
55
Скоркин Я. Л.
МОСКВА.
2002 учебный год
Содержание.
1. Введение.
1. Структура тарифной ставки.
2. Некоторые понятия теории вероятностей, применяемые в страховании.
3. Теоретические аспекты определения тарифной ставки.
2. Расчет тарифных ставок в страховании жизни.
1. Таблицы смертности.
2. Операции на вероятностями в страховании жизни.
3. Коммутационные функции и страховые аннуитеты.
4. Страхование на дожитие.
5. Страхование жизни.
6. Пенсионное страхование.
7. Расчет страховых резервов.
3. Расчет тарифных ставок в рисковых видах страхования.
1. Понятие тарификационной системы.
2. Теоретические аспекты определения тарифных ставок.
3. Практический подход к определению нетто-ставки.
ВВЕДЕНИЕ.
Определение тарифной ставки можно понять после того, как будут понятны схема работы страхового рынка. Так страховщик и страхователь заключают между собой сделку на то, что страховая компания, окажет определенную услугу своему клиенту при наступлении страхового случая, указанного в договоре. Любая услуга имеет свою стоимость или цену, которая выражается в страховом взносе (тарифе, премии), которую страхователь уплачивает страховщику. Страховая премия устанавливается при подписании договора и остается неизменной в течении срока его действия.
Реальная стоимость страховой услуги состоит в том, что если наступил страховой случай, то страховщик, например, оплачивает затраты страхователя, возмещая ему тем самым ущерб, понесенный им в связи с происшедшим.
Необходимо определить, как страховщик определяет для себя данную цену, чем он руководствуется в процессе ее установления.
Во-первых, величина премии должна быть достаточна, чтобы:
- ответить по договору страхования в размере предлагаемых претензий;
- создать страховые резервы;
- покрыть издержки страховой компании;
- обеспечить определенный размер прибыли.
Во-вторых, цена страховой услуги, как и всякая рыночная цена, колеблется под влиянием спроса и предложения. Она варьируется в определенном интервале, нижняя граница которого определяется равенством между поступлениями платежей от страхователей и выплатами страхового возмещения
(страховых сумм) по договорам плюс издержки страховой компании (Пн=А+З).
Понятно, что при таком уровне цены, страховщик не получи ни какой прибыли.
Верхняя граница цены страховой услуги определяется размером спроса на нее и величиной банковского процента (Пв=F(Ds;i). Тогда Пн 0) – страховая надбавка прямо пропорциональна отклонению от среднего значения ущерба.
3. По коэффициенту вариации: Н(х)=с*Var(x), (с>0), то есть страховая надбавка напрямую зависит от стандартного отклонения, и изменяется обратно пропорционально от его среднего значения.
(a,b,c) – числа, показывающие степень пропорциональности и уровень страховой надбавки.
Нетто-премию можно представить не только как математическое ожидание величины ущербов, но и как произведение среднего ущерба на значение вероятности его появления в различных временных периодах: Е1(Х)=, где t – временные периоды. Данная формула имеет смысл, если страховые события независимы, то есть наступление одного из них не влияет на появление другого. В принципе, эта формула также выражает принцип финансовой эквивалентности: нетто-премия равна произведению средней величины ущерба
(так для себя ее оценивает страхователь) заранее известной вероятности его наступления (определенной на основании прошлого опыта).
Для определения страховой премии необходимо знать, что страховая премия уплачивается во время заключения договора страхования, а страховая сумма – спустя некоторое время (если произойдет страховой случай). Поэтому у страховщиков есть и запас времени, и возможность получить всю премию целиком, не заплатив ничего страхователю. Используя время, страховщик может инвестировать средства, получая от этого дополнительный доход. А если не произойдет страховой случай, то сумма страховых премий по данным договорам страхования остается у страховщика. В этих двух пунктах и заключаются основные доходы страховой компании.
Страховой бизнес обладает значительной долей авантюризма, в нем неотъемлемо присутствует элемент случайности. То есть, как страховщик, так и страхователь получают свои выгоды в зависимости от фортуны. Если рассмотреть формирование цены страховой услуги с точки зрения затрат, то их определение заключается в калькуляции ущерба, к которому приведет страховое событие. Его определяют как страховщик, так и страхователь, договариваясь о выплате определенной страховой суммы. Однако, в страховании нельзя определить придется ли нести эти затраты страховщику, как компании, оказывающей услуги. В данном случае сложно найти равновесную цену и определить взносы страхователя. Единственным путем в ее определении является анализ прошлых данных, при этом исследуемый период должен быть как можно дольше, а совокупность данных однороднее.
Величина выплат по договору страхования является случайной величиной, а, следовательно, сумма выплат по всем договорам, также величина случайная.
Сумма выплат ограничена страховым фондом, который формируется из страховых премий. Поэтому совокупная страховая сумма варьируется в некотором интервале, верхняя граница которого равна сумме всех выплат по всем договорам. Для обеспечения 100%-ной гарантии того, что сумма нетто-премий превысит сумму выплат, страховщик должен создать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы. В этом случае страховая премия будет равна страховой сумме. В результате страхователь, с учетом нагрузки, должен будет заплатить больше, чем получит при наступлении страхового случая. Такие условия страхователь не примет, а, следовательно, страховщику приходится рисковать так, что его риск определяется вероятностью всех страховых событий от которых он страхует. Для себя страховщик определяет размер своего риска, что математически можно выразить следующим неравенством:
или , где y – заданная страховщиком гарантия безопасности, Si – выплата, Pi - премия, b – верхняя граница страховой гарантии. Сущность данного неравенства такова: вероятность того, что сумма всех выплат превысит сумму всех взносов страхователей, должна быть определена страховщиком заранее. Это делается для определения нетто-премии.
Согласно теореме А.М.Ляпунова (если Х – случайная величина, равная сумме большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение близкое к нормальному) страховые события и страховые выплаты распределены по нормальному закону. Если известен закон распределения случайной величины, то приведенное выше неравенство легко решаемо. Во-первых, вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b (. Во-вторых, - функция нормального распределения, где a – матемпатическое ожидание случайной величины, а - ее среднее квадратическое отклонение. И в-третьих, , где Ф – функция
Лапласа. Сумма нетто-премий является математическим ожиданием от суммы страховых выплат, а вероятность отклонения должна быть задана страховщиком заранее, то приведенное выше неравенство тождественно приведенному выше.
Подставляя известные значения в данное уравнение можно найти суммарную величину нетто-премии.
Исходя из принципа финансовой эквивалентности, ожидаемую величину нетто-премии можно выразить как произведение страховой суммы и нетто- ставки, выражаемой в процентах (Е(X)=S(X)*T(X)/100). Где Т(Х) – нетто ставка, которая зависит как от вероятности наступления страхового случая, так и от тяжести страхового случая (величины ущерба). Страховую сумму определяет сам страхователь. Верхняя ее граница – максимальная стоимость страхуемого имущества.
Нетто-премия является частью брутто-премии (П(Х)), которую также можно выразить в процентах к общей величине выплат: П(Х) = S(X)*L(X)/100, где
L(X) – брутто ставка в %. При этом, L(X) = Т(Х) *f , где f – доля нагрузки, выраженная в процентах. Доля нагрузки рассчитывается по данным бухгалтерского учета страховщика: , где R - расходы, за исключением комиссионных. - сумма собранных брутто-премий по данному виду страхования, K(%) – процент комиссионных, получаемых посредниками по данному виду страхования, V- доля прибыли в брутто-ставке, которую страховщик хочет получить по данному виду страхования. Исходя из приведенных выше формул, расчет брутто-ставки можно представить следующим выражением: П(Х)=Т(Х)/(1-f) или П(Х)=Т(Х)/100-f%.
Выше были описаны общие принципы формирования нетто-ставок, которые являются основой частных расчетов, зависящих от вида страхования. Каждый из видов имеет свои особенности, связанные с характером страхуемых событий и объектов. Некоторые из этих особенностей оказывают существенное влияние на расчет нетто-ставок.
Виды страхования сточки зрения особенностей расчета нетто-ставок можно разделить на 2 категории:
1. Страхование жизни. Здесь формирование резерва взносов и расчеты тарифных ставок производятся с помощью актуарных методов, на основе таблиц смертности и норм доходности по инвестициям временно свободных резервов по страхованию жизни.
2. Рисковые виды страхования. Это те виды страховой деятельности, отличающиеся от страхования жизни. Они не предусматривают обязательств страховщика по выплате страховой суммы при окончании срока действия договора страхования, и не связаны с накоплением страховой суммы в течении срока действия договора страхования. В рисковых видах страхования не используется принцип капитализации и, следовательно, при расчете нетто- ставок не используются методы финансовых исчислений (дисконтирование и компаундинг). Данные виды страховой деятельности можно условно разделить на два вида:
- Массовые рисковые виды страхования. Они охватывают значительное число субъектов страхования и страховых рисков, характеризующихся однородность объектов страхования и незначительным разбросом в размерах страховых сумм. Наличие большого числа застрахованных объектов подразумевает, что по указанным рискам существует достаточный объем статистических данных, на основе которых можно описать всю совокупность рисков с помощью их числовых характеристик, таких как среднее значение и дисперсия. При этом, учитывая однородность застрахованных объектов, можно утверждать, что средние значения будут характеризовать всю совокупность с достаточной точностью.
- Страхование редких событий и крупных рисков. В данном случае речь идет о рисках, связанных с низкой частотой наступления страхового события и высокой стоимостью ущерба. Число объектов, которое можно застраховать, ограничено, а разброс страховых сумм составляет значительную величину.
Для страхования редких событий и крупных рисков существуют некоторые особенности расчета нетто-ставок, обусловленные спецификой страхуемых рисков и объектов. Во-первых, при расчете тарифов необходимо опираться на данные за несколько лет (чем больше срок тем точнее расчет). Определенная таким образом премия должна поддерживать финансовое равновесие страховщика в пределах не одного года, а достаточно продолжительного периода. Во-вторых, при расчетах нетто-премий необходимо использовать реальную стоимость риска, а не среднюю, в отличии от страхования массовых рисков, так как совокупность рисков неоднородна. В-третьих, страховщики вынуждены учитывать перестрахование на величину ущерба по всему портфелю рисков данного типа. В-четвертых, для взвешенного расчета тарифных ставок необходимо расширить базу данных за пределы статистической информации и использовать данные других страховых компаний.
Расчет тарифных ставок при страховании жизни.
Страхование жизни обуславливает ряд особенностей, которые влияют на выбор форм и методов анализа подготовки и проведения страховых операций.
Можно выделить основные факторы, которые влияют на методику расчета тарифных ставок по страхованию жизни:
1. Объектом договора по данному виду страхования является жизнь, здоровье и трудоспособность граждан. Количественные показатели, характеризующие продолжительность жизни и смертность среди населения страны централизовано собираются и обрабатываются в федеральных и региональных органах статистики. На основании подобных данных составляются таблицы смертности, которые используются страховщиками при расчете нетто-ставок по страхованию жизни.
2. Договоры страхования жизни, обычно, заключаются на длительный срок.
Период времени между уплатой взносов и моментом выплат достигает нескольких лет. В течении этого срока за счет инфляции и прибыли, получаемой от инвестирования временно свободных средств, стоимость страховых взносов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения применяются методы финансовых исчислений (дисконтирование).
В страховании жизни неопределенность связана со случайным характером продолжительности человеческой жизни. Поэтому страховщики должны располагать данными для расчета вероятностей дожития до определенного возраста лиц различного пола. Источником таких данных являются таблицы смертности, составляемые на основе переписи населения.
Таблица смертности.
Таблица смертности и коммутационных функций. (мужчины, i=9% Аннуит
ет.
x lx qx dx Dx Nx Cx Mx N(12)x N(12)x ax
18 1000,001414921199,24459128,97891003,254308,36 234875,511,537
0009 37402 ,9762 61 702 965 69805
19 9980,001717319419,22339230,8685974,7232293,43 214491,711,503
51 32582 98803 ,6022 44 228 744 23069
20 9960,001919517785,20397231,9211943,8212124,36 195820,811,468
78 56299 63423 ,6142 22 543 652 39137
21 9940,002121516285,18618632,2890911,9193651,02 178722,911,432
83 61173 1745 ,98 68 332 417 9128
22 9920,002323214908,16990131,9652879,6176734,75 163068,811,396
68 37108 238 ,8055 81 441 631 50477
23 9900,002424713645,15499331,2220847,6161247,67 148739,411,358
36 94043 31729 ,5675 2 788 637 73679
24 9870,002626012487,14134830,1516816,4147071,65 135624,811,319
89 31872 41769 ,2502 37 568 504 2538
25 9850,002727311426,12886029,0451786,3134097,84 123623,811,277
29 70758 19487 ,8325 55 051 265 66802
26 9820,002928810453,11743428,1110757,2122225,92 112643,311,233
56 31119 70243 ,6376 48 6 573 78424
27 9790,00313069562,410698027,4018729,1111363,72 102598,111,187
68 23469 41641 ,9352 25 489 494 61706
28 9760,00333258745,497418,26,7002701,7101426,84 93410,1411,139
62 27804 80415 49355 25 471 836 29583
29 9730,00353477996,688673,26,1537675,092338,156 85007,8611,088
37 64934 76302 01314 84 469 983 73359
30 9690,00383707310,280676,25,5846648,884026,866 77325,8011,036
90 14826 46493 33683 98 931 719 06245
31 9660,00403916681,073366,24,8044623,376428,244 70303,9310,981
20 46781 63461 09034 06 084 625 19944
32 9620,00424096104,666685,23,8039598,569482,974 63887,0710,923
29 50278 11614 02688 42 04 989 71327
33 9580,00444265576,760580,22,7461574,763136,429 58024,4010,863
20 45836 57172 41527 9 001 156 01831
34 9530,00464445093,555003,21,7498551,957338,199 52669,1110,798
94 54381 44793 65809 14 539 673 6992
35 9490,00484624651,249910,20,7629530,252041,926 47778,3010,730
50 65719 27061 1133 02 041 09 52608
36 9440,00514864246,445258,20,0380509,447205,161 43312,6110,658
88 4351 17888 88624 68 412 137 13291
37 9400,00545173875,741012,19,5561489,442788,858 39236,0710,581
02 99883 58159 46835 62 031 92 79243
38 9340,00595563536,137136,19,2948469,838757,462 35515,9510,501
85 47478 85269 71019 48 469 861 91304
39 9290,00646033224,933600,19,1980450,535078,61 32122,4410,419
29 88825 1182 52492 62 521 034 0523
40 9230,00706542939,430375,19,1025431,331722,855 29028,3710,333
26 83595 36635 6131 49 54 131 82137
41 9160,00777062677,627436,18,9187412,228663,423 26208,9310,246
72 0137 28309 17647 22 515 016 44697
42 9090,00837562437,624758,18,5858393,325875,791 23641,3010,156
66 10797 21011 54816 48 327 52 84885
43 9020,00888012217,722320,18,0661374,723337,402 21304,4510,064
10 79282 63703 92715 91 469 212 61018
44 8940,00948432016,520103,17,4435356,621027,429 19178,899,9689
09 28581 79408 16345 62 807 788 42143
45 8850,00998831832,618086,16,7626339,218926,539 17246,629,8691
66 69966 2929 58404 16 371 895 99483
46 8760,01059271664,516253,16,1448322,417016,873 15491,039,7647
83 72175 48659 95475 62 745 661 8198
47 8670,01129771510,914589,15,6107306,315281,931 13896,889,6556
56 61469 63999 40609 1 297 092 94043
48 8570,01201031370,513078,15,1866290,713706,631 12450,259,5421
79 77548 6 94794 44209 28 19 281 65305
49 8470,01301101242,211707,14,8471275,512277,207 11138,489,4247
43 27625 4 39788 8473 87 323 739 8852
50 8360,01401171124,810465,14,5342260,610981,151 9950,0639,3042
39 84339 8 22344 60751 92 851 933 31523
51 8240,01521251017,49340,714,2058246,19807,0994 8874,4709,1809
61 19316 5 12812 85164 04 508 959 1954
52 8120,0163132919,208323,313,8013231,98744,6726 7902,0729,0550
06 65786 9 04449 72352 19 45 148 13407
53 7980,0175140829,507404,113,3477218,17784,3603 7023,9838,9260
77 39467 1 18416 71907 25 437 563 46377
54 7840,0187146747,666574,612,8399204,76917,349 6231,9918,7936
76 19099 9 31389 70066 82 96 127 26064
55 7700,0199153673,085827,012,3331191,96135,5063 5518,5078,6571
07 7221 8 95034 06927 06 56 571 05626
56 7540,0213161605,185153,911,8591179,65431,2917 4876,5438,5163
69 59764 2 02003 17423 8 229 165 35169
57 7380,0229169543,354548,711,4334167,74797,7736 4299,7008,3716
57 36215 4 20131 37223 3 637 884 21184
58 7210,0246178487,054005,311,0342156,34228,6186 3782,1518,2236
63 94095 2 46557 8521 88 303 826 87348
59 7030,0266187435,803518,310,6571145,23718,0744 3318,5868,0731
81 54921 6 48455 30554 96 96 667 79063
60 6850,0287196389,163082,510,2515134,63260,8924 2904,1587,9208
05 13233 7 37631 25709 13 388 984 96037
61 6650,0307204346,772693,39,79713124,32852,3025 2534,4217,7667
38 94433 9 94619 61946 49 873 359 8622
62 6440,0329212308,342346,59,32596114,52487,9092 2205,2557,6101
89 66863 6 91604 82484 73 902 785 47148
63 6230,0352219273,562038,28,84166105,22163,6164 1912,8507,4506
63 29222 7 31707 33323 77 642 203 86137
64 6010,0374225242,131764,68,3294596,421875,6481 1653,6927,2879
66 9626 6 37182 70153 77 253 198 98406
65 5790,0402233213,811522,57,8991388,091620,5334 1424,5397,1209
10 69384 2 15682 36434 77 308 466 26372
66 5550,0430239188,251308,77,4426980,191395,0099 1222,4396,9517
78 92591 5 82643 24866 39 394 828 52535
67 5310,0461245165,271120,46,9992172,751196,216 1044,7176,7795
83 61367 5 13101 66602 99 124 251 59024
68 5070,0494250144,62955,196,5625465,751021,4821 888,90846,6045
28 59864 9 58353 52918 51 203 507 96544
69 4820,0530255126,12810,566,1358659,18868,37524 752,76366,4268
19 28889 7 17074 94566 61 948 74 82994
70 4560,0568259109,57684,445,7194953,05734,66831 634,22716,2465
62 96325 8 21224 77491 64 361 93 50074
71 4300,061026394,805574,875,3118747,33618,3281 531,42316,0637
64 71893 0 38649 56268 56 412 58 44351
72 4040,065526581,665480,074,9121942,02517,50028 442,64015,8784
34 63635 1 54318 02403 25 224 997 91976
73 3770,070426670,010398,404,5235937,11430,49276 366,31665,6906
83 285 1 32418 46971 82 005 318 56368
74 3510,075626559,706328,394,1438532,58355,75965 301,02905,5001
22 50589 7 05696 43729 17 645 968 85235
75 3240,081226350,632268,683,7745128,44291,89481 245,48185,3066
65 56738 8 34731 8316 32 26 234 5336
76 2980,087326042,677218,053,4208524,66237,61634 198,49555,1094
27 70503 6 18158 59687 03 809 938 27581
77 2720,093825535,732175,373,0781821,24191,7562 159,00134,9080
21 98093 6 52729 87871 724 787 99156
78 2460,100924929,703139,642,7510918,16153,26057 126,03194,7012
65 52767 0 95515 62598 77 906 47 68201
79 2210,108524024,500109,942,4398115,41121,17158 98,713024,4873
75 4566 7 23732 23046 14 796 919 97537
80 1970,116623020,03785,4422,1444312,9794,625908 76,258224,2641
68 53177 6 47055 06731 54 815 663 14429
81 1740,125421916,23865,4041,8684010,8372,847272 57,961924,0277
62 15187 0 5651 59675 61 371 108 32522
82 1520,134820513,02949,1661,611598,96555,137822 43,194243,7734
72 21896 9 36001 03165 91 305 165 80171
83 1320,144819110,34136,1361,374407,35340,876728 31,396613,4941
13 57337 4 94219 67164 94 706 48 86195
84 1120,15561758,113625,7941,158815,97929,513468 22,075993,1791
99 77494 9 10993 72944 34 297 107 92282
85 9540,16711596,284817,6810,963954,82020,561682 14,800552,8132
0 80294 4,966394 11845 03 483 469 84697
86 7940,23901894,801911,3961,053143,85613,597161 9,1953432,3732
5,153001 9,382189 25206 52 533 554 39135
87 6040,34162063,35236,59421,050682,8038,1307604 5,0577791,9670
5,825591 5,443059 69868 46 388 3 62962
88 3980,48801942,02483,24190,906661,7524,1699874 2,3138661,6010
0,466526 2,759522 26809 62 703 194 62579
89 2030,69501410,95101,21700,606410,8461,6529437 0,7811901,2797
7,748339 6,303092 67286 57 037 87 72166
90 6210,98166100,26600,26600,239620,2390,3880103 0,1441181
,4 70422 ,0164195 64195 14 621 106
Форм lx*(1+ dx*(1+i
ула i)-x )-x+1
Таблица смертности – числовая модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей.
Прежде чем начать непосредственное описание методов расчета страховых аннуитетов и нетто-тарифов, необходимо сформулировать обще принципы определения нетто-премий в личном страховании.
В страховании жизни, как и в любом из видов страхования должно соблюдаться условие превышения страховых премий над страховыми выплатами
(Е(Р)+I>=E(S)), где I – доход от инвестиций временно свободных средств.
Величина страховых выплат является случайной величиной, и нельзя заранее предсказать точную сумму страховых выплат. За счет большого числа застрахованных, статистические данные однородны и обладают должной степенью надежности. Поэтому, вероятность отклонения реальных величин от их математического ожидания ничтожно мала. Вследствие этого, в актуарных расчетах принято использовать вероятную (ожидаемую) стоимость выплат. Тоже происходит и суммами нетто-премий. Их величина зависит от случайной величины S, а, следовательно, является величиной случайной.
К моменту осуществления выплат страховщик должен обладать фондом, равным вероятной стоимости выплат. Он определяет для себя будущую стоимость выплат и размер требуемого страхового фонда. Так как страховщик инвестирует свободные средства, то они ему приносят доход, который изменяется в зависимости от нормы доходности r, темпа инфляции (h), и ставки налогов
(g). Тогда дисконтирование происходит по скорректированной ставке i=r(1- g)+h/100. Страховая премия выплачивается в момент заключения договора, то есть в современный момент времени, а страховые выплаты спустя определенное время. Поэтому, для их сравнения необходимо дисконтировать страховые выплаты, приводя их стоимость к сегодняшнему дню.
В страховании жизни нетто-премии иногда уплачиваются не одной суммой, а серией платежей, в различные периоды времени (в рассрочку). Для их учета страховщику приходится как нетто-премии, так и страховые выплаты приводить к одному моменту времени, иначе, при незапланированном прекращении договора, страховщик недополучит часть причитающихся ему премий.
Вышесказанное можно представить в виде неравенств, которые показывают основные принципы расчета тарифных ставок:
1. E+I>S – Нетто-премия с учетом дохода, от инвестиций должна превышать страховую выплату.
Если данное равенство не будет соблюдаться, то страховщик обанкротится.
2. E+I>Sp – Сумма выплат – величина случайная, так как неизвестно по каким договорам приходится возмещать ущерб. Поэтому в актуарных расчетах применяют ее наиболее вероятное значение (Sp).
3. E>Sp-I – Современная вероятная стоимость выплат (разница между суммой выплат и накопленных доходов) не должна превышать стоимость единовременной нетто-премии.
4. Ep-IE>Sp-I – Сравнение вероятной стоимости выплат происходит не с реальными суммами нетто-премий, а с их наиболее вероятным значением
(математическим ожиданием). Современная вероятная стоимость нетто-премий, уплаченных в рассрочку, должна быть меньше, чем современная стоимость выплат.
Получается, что нетто-премии – доходы страховой компании, а страховые выплаты – ее расходы, причем и те и другие носят случайный характер. Так как в страховании жизни затронуты значительные периоды времени, в рамках которых изменяется стоимость денег пропорционально ставке i, то расчетные данные необходимо приводить к одному моменту времени.
Принцип финансовой эквивалентности (P=Sq) в страховании жизни несколько видоизменен. Пусть P – размер премии, qn – вероятность страхового события (смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму Р, если на втором году – 2Р, и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит: Pq1+2Pq2+3Pq3+…+nPqn. Однако, премия выплачивается в разные моменты времени. С учетом этого фактора данную величину необходимо привести к одному моменту времени (к начальному):
E(P)=P(q1+(1+v)q2+(1+v+v2)q3+…+(1+v+…+vn-1)qn), где v=(1+i)-1-дисконтный множитель. Е(Р) – дисконтированное математическое ожидание страховых премий.
Теперь рассмотрим совокупность страховых выплат. Допустим, они выплачиваются в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq1, во втором году
- Sq2, и т.д. С учетом фактора времени математическое ожидание страховых выплат выглядит так: E(S)=S(vq1+v2q2+…+vnqn)/
Как известно, E(S)=E(Р). Подставляя известные значения в данное равенство можно определить размер нетто-премии.
Зная основные принциы формирования нетто-премии в страховании жизни можно перейти к рассмотрению методов ее расчета. Итак, основной показатель таблицы смертности – число людей lx в возрасте х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности l0 (обычно равной 100000 человек). Величины lx
(кроме l0) определяют расчетным путем на основе заданных вероятностей смерти (qx) в возрасте х лет, или на основе количества умерших (dx).
Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим усреднением и сглаживанием.
Показатели таблицы смертности связаны следующими соотношениями:
- lx+1=lx-dx;
- dx=lx*qx;
- qx=1-px=1-lx+1/lx=dx/lx .
Для определения страховых тарифов необходимо знать страховые вероятности в страховании жизни и действия над ними:
1. npx=lx+n/lx – вероятность прожить n лет лицо, дожившим до возраста х лет.
2. px=1-qx=1-dx/lx=lx+1/lx – вероятность человеком, дожившим до х лет, прожить еще 1год.
3. nqx=1-npx=(lx-lx+n)/lx – вероятность умереть в интервале возрастов от x лет до n лет.
4. mqx=mpx*qx+m=(lx+m/lx)*(dx+m/lx+m)=dx+m/lx - вероятность дожить до возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года.
5. m/nqx=mpx*nqx+m=(lx+m/lx)*(lx+m-lx+m+n)/lx+m=(lx+m-lx+m+n)/ lx – вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n лет.
Для упрощения расчетов и сокращения записи формул в таблицах смертности используются коммутационные функции. Их смысл сложно интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа умерших.
1. Dx=lx*vx
2. , где w-предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.
- Nx=Nx+1+Dx; Nw=Dw
- (Nx+1-Nx+2)+(Nx+2-Nx+3)+…+Nx+k-Nx+k+1=Nx+1-Nx+k+1
3. Cx=dx*vx+1; Cx=dx*vx+1=(lx-lx+1)*vx+1=lx*vx*v-lx+1*vx+1=Dx*v-Dx+1
4. ;
Страхование на дожитие.
Страхователь и страховщик договариваются между собой о том, что второй выплатит первому страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто- премию, которая равна произведению страхового тарифа и размера выплаты
(nEx*S). Нетто-премия может уплачиваться единовременно, а может в рассрочку, что ведет к различной методике расчета:
1. Нетто-премия уплачивается единовременно. В этом случае страхователь обязательно ее заплатит, иначе договор не будет заключен. Страховая выплата зависит от того, доживет ли страхуемый до n лет или нет. Поэтому, при ее расчете применяется математическое ожидание от суммы выплаты
(S*npx). Страховая выплата произойдет только через n лет после заключения договора, поэтому ее необходимо привести к моменту уплаты нетто-премии
(S*npx*vn). Используя принцип финансовой эквивалентности (обязательства должны быть равны), получается:
- nEx*S = S*npx*vn
- nEx= npx*vn= (lx+n/lx)* vn
- nEx= (lx+n*vx+n/lx*vx+n)* vn=Dx+n/Dx
2. Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи составляющие нетто-премию в данном виде страхования – суммы фактические, а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий, которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в течении t лет, в начале каждого года. Тогда P1*S – премия уплаченная в первом году, Р2*S – премия уплаченная во втором году и т.д.
- (P1+P2*v+…+Pt*vt-1)*S = S*npx*vn
- Если платежи одинаковы, то P(1+v+v2+…+vt-1)=npx*vn или
Страхование жизни.
Этот вид страхования называют также страхованием на случай смерти.
Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного.
Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь также следует рассмотреть два случая:
1. Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы
(S*nAx). Нетто-премия – основное условие заключение договора, поэтому ее величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год, то страховая сумма будет равна S*qx*v (qx – вероятность умереть в возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет заплатить S*2qx*v2=S*v2*dx+1/lx;
- если умрет в третий год – страховая выплата = S*v3*dx+2/lx и так далее.
- В силу финансовой эквивалентности:
S*nAx=S*dx/lx*v+ S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn
- Умножим и разделим данное выражение на vx, тогда: nAx=(dx/Dx)*vx+1+(dx+1/Dx)*vx+2+(dx+2/Dx)*vx+3+…+(dx+n-1/Dx)*vx+n=1/Dx
*(Cx+Cx+1+…+Cx+n-1)
Mx=Cx+Cx+1+…+Cx+n-1+Cx+n+Cx+n+1+…+Cw
Mx+n= Cx+n+Cx+n+1+…+Cw
Mx-Mx+n= Cx+Cx+1+…+Cx+n-1 nAx= 1/Dx *(Mx-Mx+n)
- Если страхование пожизненное, то nAx= Mx/Dx
2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Пусть рассрочка осуществляется посредством равных платежей (P) пренумерандо (в начале года) в течении t лет. В данном случае нетто-премия представляет собой поток платежей, ограниченный периодом t. При этом каждый член этого потока, является случайной величиной, так как при наступлении страхового случая платежи прекратятся, а страховщик должен будет уплатить всю страховую сумму страхователю. Наступление каждого последующего платежа не определено, так как неизвестно наступит ли страховой случай. Страховщик должен учитывать, что если он произойдет, то он потеряет не только страховую с...
ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами реферата (доклада, курсовой) урезан на треть (33%)!
Чтобы просматривать этот и другие рефераты полностью, авторизуйтесь на сайте:
|
|
