Главная / Рефераты / Рефераты по экономико-математическому моделированию
Реферат: Динамическое программирование
Notice: Undefined variable: ref_img in /home/area7ru/area7.ru/docs/referat.php on line 323
Курсовая работа по теории оптимального управления экономическими системами.
Тема : Задача динамического программирования.
I.Основные понятия и обозначения.
Динамическое программирование – это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам. Рассмотрим пример такого процесса.
Пусть планируется деятельность группы предприятий на N лет. Здесь шагом является один год. В начале 1-го года на развитие предприятий выделяются средства, которые должны быть как-то распределены между этими предприятиями. В процессе их функционирования выделенные средства частично расходуются. Каждое предприятие за год приносит некоторый доход, зависящий от вложенных средств. В начале года имеющиеся средства могут перераспределяться между предприятиями : каждому из них выделяется какая-то доля средств.
Ставится вопрос : как в начале каждого года распределять имеющиеся средства между предприятиями, чтобы суммарный доход от всех предприятий за
N лет был максимальным?
Перед нами типичная задача динамического программирования, в которой рассматривается управляемый процесс – функционирование группы предприятий.
Управление процессом состоит в распределении (и перераспределении) средств.
Управляющим воздействием (УВ) является выделене каких-то средств каждому из предприятий в начале года.
УВ на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем. УВ должно быть дальновидным, с учетом перспективы. Нет смысла выбирать на рассматриваемом шаге наилучшее УВ, если в дальнейшем это помешает получить наилучшие результаты других шагов. УВ на каждом шаге надо выбирать “c заглядыванием в будущее”, иначе возможны серьезные ошибки.
Действительно, предположим, что в рассмотренной группе предприятий одни заняты выпуском предметов потребления, а другие производят для этого машины. Причем целью является получение за N лет максимального объема выпуска предметов потребления. Пусть планируются капиталовложения на первый год. Исходя их узких интересов данного шага (года), мы должны были бы все средства вложить в производство предметов потребления, пустить имеющиеся машины на полную мощность и добиться к концу года максимального объема продукции. Но правильным ли будет такое решение в целом? Очевидно, нет.
Имея в виду будущее, необходимо выделить какую-то долю средств и на производство машин. При этом объем продукции за первый год, естественно, снизится, зато будут созданы условия, позволяющие увеличивать ее производство в последующие годы.
В формализме решения задач методом динамического программирования будут использоваться следующие обозначения:
N – число шагов.
– вектор,описывающий состояние системы на k-м шаге.
– начальное состояние, т. е. cостояние на 1-м шаге.
– конечное состояние, т. е. cостояние на последнем шаге.
Xk – область допустимых состояний на k-ом шаге.
– вектор УВ на k-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния xk-1 в состояние xk.
Uk – область допустимых УВ на k-ом шаге.
Wk – величина выигрыша, полученного в результате реализации k-го шага.
S – общий выигрыш за N шагов.
– вектор оптимальной стратегии управления или ОУВ за N шагов.
Sk+1() – максимальный выигрыш, получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояние при оптимальной стратегии управления начиная с (k+1)-го шага.
S1() – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состояния в конечное при реализации оптимальной стратегии управления . Очевидно, что S = S1(), если
–фиксировано.
Метод динамического программирования опирается на условие отсутствия последействия и условие аддитивности целевой функции.
Условие отсутствия последействия. Состояние , в которое перешла система за один k-й шаг, зависит от состояния и выбранного УВ и не зависит от того, каким образом система пришла в состояние , то есть
Аналогично, величина выигрыша Wk зависит от состояния и выбранного
УВ , то есть
Условие аддитивности целевой функции. Общий выигрыш за N шагов вычисляется по формуле
Определение. Оптимальной стратегией управления называется совокупность УВ , то есть , в результате реализации которых система за N шагов переходит из начального состояния в конечное и при этом общий выигрыш S принимает наибольшее значение.
Условие отсутствия последействия позволяет сформулировать принцип оптимальности Белмана.
Принцип оптимальности. Каково бы ни было допустимое состояние системы перед очередным i-м шагом, надо выбрать допустимое УВ
на этом шаге так, чтобы выигрыш Wi на i-м шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.
В качестве примера постановки задачи оптимального управления продолжим рассмотрение задачи управления финансированием группы предприятий. Пусть в начале i-го года группе предприятий выделяются соответственно средства: совокупность этих значений можно считать управлением на i-м шаге, то есть . Управление процессом в целом представляет собой совокупность всех шаговых управлений, то есть .
Управление может быть хорошим или плохим, эффективным или неэффективным.
Эффективность управления оценивается показателем S. Возникает вопрос: как выбрать шаговые управления , чтобы величина S обратилась в максимум ?
Поставленная задача является задачей оптимального управления, а управление, при котором показатель S достигает максимума, называется оптимальным. Оптимальное управление многошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений:
Таким образом, перед нами стоит задача: определить оптимальное управление на каждом шаге (i=1,2,...N) и, значит, оптимальное управление всем процессом .
II. Идеи метода динамического программирования
Мы отметили, что планируя многошаговый процесс, необходимо выбирать УВ на каждом шаге с учетом его будущих последствий на еще предстоящих шагах.
Однако, из этого правила есть исключение. Среди всех шагов существует один, который может планироваться без "заглядыва-ния в будущее". Какой это шаг?
Очевидно, последний — после него других шагов нет. Этот шаг, единственный из всех, можно планировать так, чтобы он как таковой принес наибольшую выгоду. Спланировав оптимально этот последний шаг, можно к нему пристраивать предпоследний, к предпоследнему — предпредпоследний и т.д.
Поэтому процесс динамического программирования на 1-м этапе разворачивается от конца к началу, то есть раньше всех планируется последний,
N-й шаг. А как его спланировать, если мы не знаем, чем кончился предпоследний? Очевидно, нужно сделать все возможные предположения о том, чем кончился предпоследний, (N — 1)-й шаг, и для каждого из них найти такое управление, при котором выигрыш (доход) на последнем шаге был бы максимален. Решив эту задачу, мы найдем условно оптимальное управление
(УОУ) на N-м шаге, т.е. управление, которое надо применить, если (N — 1)-й шаг закончился определенным образом.
Предположим, что эта процедура выполнена, то есть для каждого исхода
(N — 1)-го шага мы знаем УОУ на N-м шаге и соответствующий ему условно оптимальный выигрыш (УОВ). Теперь мы можем оптимизировать управление на предпоследнем, (N — 1)-м шаге. Сделаем все возможные предположения о том, чем кончился предпредпоследпий, то есть (N — 2)-й шаг, и для каждого из этих предположений найдем такое управление на (N — 1)-м шаге, чтобы выигрыш за последние два шага (из которых последний уже оптимизирован) был максимален. Далее оптимизируется управ чение на (N — 2)-м шаге, и т.д.
Одним словом, на каждом шаге ищется такое управление, которое обеспечивает оптимальное продолжение процесса относительно достигнутого в данный момент состояния. Этот принцип выбора управления , называется принципом оптимальности. Само управление, обеспечивающее оптимальное продолжение процесса относительно заданного состояния, называется УОУ на данном шаге.
Теперь предположим, что УОУ на каждом шаге нам известно: мы знаем, что делать дальше, в каком бы состоянии ни был процесс к началу каждого шага.
Тогда мы можем найти уже не "условное", а дейсгвительно оптимальное управление на каждом шаге.
Действительно, пусть нам известно начальное состояние процесса. Теперь мы уже знаем, что делать на первом шаге: надо применить УОУ, найденное для первого шага и начального сосюяния. В результате этого управления после первого шага система перейдет в другое состояние; но для этого состояния мы знаем УОУ и г д. Таким образом, мы найдем оптимальное управление процессом, приводящее к максимально возможному выигрышу.
Таким образом, в процессе оптимизации управления методом динамического программирования многошаговый процесс "проходится" дважды:...
ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами реферата (доклада, курсовой) урезан на треть (33%)!
Чтобы просматривать этот и другие рефераты полностью, авторизуйтесь на сайте:
|
|
|
Добавлено: 2012.05.08
Просмотров: 1139
|
Notice: Undefined offset: 1 in /home/area7ru/area7.ru/docs/linkmanager/links.php on line 21
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательная! |
