Главная / Методические материалы / Преподавание математики

Степень и ее свойства. Определение степени

Автор(ы): Михайличенко Елена Борисовна, учитель математики

Notice: Undefined variable: content in /home/area7ru/area7.ru/docs/metodic-material.php on line 278
Основная цель
Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.
Тема “ Степень и её свойства ” включает три вопроса:

Определение степени с натуральным показателем.
Умножение и деление степеней.
Возведение в степень произведения и степени.

Контрольные вопросы

Сформулируйте определение степени с натуральным показателем, большим 1. Приведите пример.
Сформулируйте определение степени с показателем 1. Приведите пример.
Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, содержащего степени?
Сформулируйте основное свойство степени. Приведите пример.
Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Приведите пример. Докажите тождество (ab)ⁿ = aⁿ•bⁿ .
Сформулируйте правило возведения степени в степень. Приведите пример. Докажите тождество ( а^m)ⁿ = а^{m n}.

Определение степени.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.
Степень с основанием а и показателем n записывается так: аⁿ . Читается “ а в степени n ”; “ n- я степень числа а ”.
По определению степени:
а¹ = а
а² = а•а
а³ = а•а•а
а⁴ = а• а•а•а
. . . . . . . . . . . .
аⁿ =
Нахождение значения степени называют возведением в степень.
1. Примеры возведения в степень:

3³ = 3• 3• 3 = 27
0⁴ = 0• 0• 0• 0 = 0
( -5 )³ = ( -5 ) • ( -5 ) • ( -5 ) = -125
7¹ = 7

2. Представьте в виде квадрата числа: 25 ; 0,09 ;

25 = 5² ; 0,09 = ( 0,3 )² ; .

3. Представьте в виде куба числа:

27 ; 0,001 ; 8 .
27 = 3³ ; 0,001 = ( 0,1 )³ ; 8 = 2³ .

4. Найти значения выражений:

а) 3• 10³ = 3• 10• 10• 10 = 3• 1000 = 3000

б) -2⁴ + ( -3 )² = 7
2⁴ = 16
( -3 )² = 9
-16 + 9 = 7

Вариант 1
1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,3• 0,3• 0,3
б)
в) b• b• b• b• b• b• b
г) ( -х ) • ( -х ) • ( -х ) • ( -х )
д) ( ab ) • ( ab ) • ( ab )

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений :

а) 7² + 4³
б) 6² + 5³
в) -1⁴ + ( -2 )³
г) -4³ + ( -3 )²
д) 100 - 5• 2⁴

Умножение степеней.
Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:
a^maⁿ = a^{m + n} .
Доказательство:

Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
a^maⁿa^k = a^{m + n}a^k = a^{( m + n ) + k} = a^{m + n + k} 1. Представить в виде степени:

а) х⁵• х⁴ = х^{5 + 4} = х⁹б) y• y⁶ = y¹• y⁶ = y^{1 + 6} = y⁷
в) b² • b⁵ • b⁴ = b^{2 + 5 + 4} = b¹¹
г) 3⁴ • 9 = 3⁴•3² = 3⁶
д) 0,01• 0,1³ = 0,1² • 0,1³ = 0,1⁵

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2³ • 2 = 2⁴ = 16
б) 3² • 3⁵ = 3⁷ = 2187

Вариант 1
1. Представить в виде степени:

а) х³•х⁴е) х²•х³•х⁴
б) а⁶•а²ж) 3³•9
в) у⁴•у з) 7⁴•49
г) а• а⁸ и) 16• 2⁷д) 2³•2⁴ к) 0,3³•0,09

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2²•2³ в) 8• 2⁵б) 3⁴•3²г) 27• 243

Деление степеней.
Для любого числа а0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:
a^m : aⁿ = a^{m - n}
Доказательство:
a^{m - n} aⁿ = a^{( m - n ) + n} = a^{m - n + n} = a^m
по определению частного:
a^m : aⁿ = a^{m - n} .
Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице:
а⁰ = 1
т.к. аⁿ : aⁿ = 1 при а0 .
1. Представьте в виде степени частное:

а) х⁴:х² = х^{4 - 2} = х²
б) у⁸:у³ = у^{8 - 3} = у⁵
в) а⁷:а = а⁷:а¹ = а^{7 - 1} = а⁶г) с⁵:с⁰ = с⁵:1 = с⁵

2. Найдите значения выражений:

а) 5⁷:5⁵ = 5² = 25
б) 10²⁰:10¹⁷ = 10³ = 1000
в)
г)
д)

Вариант 1
1. Представьте в виде степени частное:

а) х⁵ : х²
б) у⁹ : у⁴
в) b¹⁰ : b
г) с¹⁰ : с⁴
д) а⁷ : а⁰

2. Найдите значения выражений:

а) 3⁶ : 3²
б) 7¹⁵ : 7¹³
в)
г)
д)

Возведение в степень произведения.
Для любых а и b и произвольного натурального числа n:
( ab )ⁿ = aⁿ•bⁿ
Доказательство:
По определению степени
( ab )ⁿ=
Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим: =
Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.
Например:
( a• b• c )ⁿ = aⁿ•bⁿ•cⁿ;
( a• b• c• d )ⁿ = aⁿ•bⁿ•cⁿ•dⁿ .
Правило: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.
1. Возвести в степень:

а) ( a• b )⁴ = a⁴•b⁴б) (2• х• у )³ =2³•х³•у³ = 8• х³•у³в) ( 3• а )⁴ = 3⁴•а⁴ = 81• а⁴г) ( -5• у )³ = (-5)³•у³ = -125• у³д) (-0,2• х• у )² = (-0,2)²•х²•у² = 0,04• х²•у²
е) (-3• a• b• c )⁴ = (-3)⁴•a⁴•b⁴•c⁴ = 81• a⁴•b⁴•c⁴

2. Найти значение выражения:

а) (2• 10)⁴ = 2⁴•10⁴ = 16• 1000 = 16000
б) (3• 5• 20)²= 3²•100²= 9• 10000= 90000
в) 2⁴•5⁴ = (2• 5)⁴ = 10⁴ = 10000
г) 0,25¹¹•4¹¹ = (0,25• 4)¹¹ = 1¹¹ = 1
д)

Вариант 1
1. Возвести в степень:

а) ( a• b )⁹б) ( 2• а• с )⁴
в) ( 5• а )³
г) ( -3• у )⁴д) ( -0,1• х• у )³
е)

2. Найти значение выражения:

а) (3• 10)³б) (5• 7• 20)²
в) 5³•2³
г)
д)

Возведение в степень степени.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:
( а^m)ⁿ = а^{m n}
Доказательство:
По определению степени
( а^m)ⁿ =
Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.
1. Возвести в степень:

( а³ )² = а⁶ ( х⁵ )⁴ = х²⁰( у⁵ )² = у¹⁰ ( b³ )³ = b⁹

2. Упростите выражения:

а) а³•( а²)⁵ = а³•а¹⁰ = а¹³
б) ( b³ )²•b⁷ = b⁶•b⁷ = b¹³
в) ( х³ )²•( х² )⁴ = х⁶•х⁸ = х¹⁴
г) ( у• у⁷ )³ = ( у⁸ )³ = у²⁴

3. Найдите значение выражений:

а)
б)

Вариант 1
1. Возвести в степень:

а) ( а⁴ )² б) ( х⁴ )⁵
в) ( у³ )² г) ( b⁴ )⁴

2. Упростите выражения:

а) а⁴•( а³)²
б) ( b⁴ )³•b⁵⁺
в) ( х² )⁴•( х⁴ )³
г) ( у• у⁹ )²

3. Найдите значение выражений:

а)
б)

Приложение

Определение степени.
Вариант 2
1ю Запишите произведение в виде степени:

а) 0,4• 0,4• 0,4
б)
в) а• а• а• а• а• а• а• а
г) ( -у ) • ( -у ) • ( -у ) • ( -у )
д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс )

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

а) 5² + 3³
б) 4³ - 7²
в) -1³ + ( -2 )⁴
г) -6² + ( -3 )²
д) 4• 5² – 100

Вариант 3
1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,5• 0,5• 0,5
б)
в) с• с• с• с• с• с• с• с• с
г) ( -х ) • ( -х ) • ( -х ) • ( -х )
д) ( ab ) • ( ab ) • ( ab )

2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .
3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений :

а) 3⁴ + 7²
б) 6³ - 9²
в) -1⁵ + ( -3 )²
г) -5³ + ( -4 )²
д) 5• 4² - 100

Вариант 4
1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,7• 0,7• 0,7
б)
в) х• х• х• х• х• х
г) ( -а ) • ( -а ) • ( -а )
д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс ) • ( bc )

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений :

а) 6² + 4³
б) 5³ - 8²
в) -1⁴ + ( -3 )³
г) -3⁴ + ( -5 )...

ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами методического материала урезан на треть (33%)!

Чтобы просматривать этот и другие тексты полностью, авторизуйтесь на сайте:

Ваш id: Пароль:

РЕГИСТРАЦИЯ НА САЙТЕ

Простая ссылка на эту страницу:

Ссылка для размещения на форуме:

HTML-гиперссылка:

Добавлено: 2012.03.04 | Просмотров: 7041
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательна!