Главная / Методические материалы / Преподавание математики

О функция, как ты важна!

Автор(ы): Астапович Ольга Викторовна, преподаватель

Notice: Undefined variable: content in /home/area7ru/area7.ru/docs/metodic-material.php on line 278
Цель:

Показать полезность всех изучаемых функций; научить видеть знакомое в незнакомом;
Развивать интерес к истории математики и её приложениям.

Оборудование:

1. плакаты;
2. презентация (приложение 1);
3. график движения поездов (приложение 2)

В конкурсе участвуют команды - «агитбригады» по 9 человек. Команды разных групп «представляют» функции: показательную, логарифмическую, функцию у = sin(x), квадратичную, линейную.
Задача команд: в течение 10 – 15 минут доказать, что выбранная функция – самая важная и интересная.
При подведении итогов смотра учитываются:

- научность;
- историзм;
- убедительность;
- доказательство полезности функции;
- наглядность;
- разнообразие жанров;
- полнота представления материала.

Вводное слово преподавателя:
Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. - имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи объектов.
В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.
Математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает различные законы их взаимосвязи, не углубляясь в природу задачи.
Например, в соотношении у = х² геодезист или геометр увидит зависимость площади квадрата от его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нём зависимость силы У сопротивления воздуха или воды от скорости Х движения. Математика же изучает эту зависимость в отвлечённом виде, и она устанавливает, например, что при увеличении икс в 2 раза приведут к увеличению У в 4 раза, и это заключение может применяться в любой конкретной ситуации.
В школьном курсе изучаются немало функций: линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, дробно-линейная и т д.
Постарайтесь доказать, что выбранная вами функция – самая важная и интересная.
1-й студент:
Сложный путь прошло понятие функции. Оно корнями уходит в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что чем больше удастся убить оленей на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.
2-й студент:
С развитием скотоводства, земледелия, ремёсел и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Идея зависимости некоторых величин восходит, по-видимому, к древнегреческой науке. Там величины имели геометрическую природу.
3-й студент: Сам термин «функция» возник только в 1664 году в работах немецкого ученого Лейбница. Но Лейбниц всё - таки оставался в круге геометрических представлений. Только ученик Лейбница Бернулли дал в 1718 году определение функции, свободное от геометрических образов.
4-й студент:
Гениальный ученик Бернулли петербургский академик Леонард Эйлер определяет функцию так: «Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, принято называть их функциями». Итак, знание законов природы дало человечеству объяснять и предсказывать её разнообразнейшие явления. «Математическими портретами» закономерностей природы и служат функции.
ПАРАД ФУНКЦИЙ
Линейная функция
Первая линия, с которой мы знакомимся, изучая математику,- это прямая.
Что такое линия? Оказывается, дать строгое определение этого понятия совсем непросто. В «Началах» Евклида линия определена как «длина без толщины». Однако такое определение не могло устроить математиков более позднего времени. После введения Р.Декартом системы координат появилась возможность дать представление о линии как траектории движущейся точки. Совокупность всех таких точек и называют линией.
Обычная линия определенным образом расположенная относительно осей координат называется графиком. График удобен для изображения связи между двумя величинами, из которых одна является аргументом, а другая – функцией.

Я бесхитростна, проста -
Такой характер у меня;
Смеются надо мной друзья;
Мол, нет извилин у меня.
Но я с дороги не сверну;
Ведь жить иначе не могу.

Наверное, все догадались, что речь идет о линейной функции вида y = a x + b. Функция называется линейной потому, что ее график есть прямая линия. Характеристическим свойством линейной функции является изменение функции пропорционально изменению аргумента. Поэтому с помощью линейной функции описываются пропорциональные зависимости.
Например, при равномерном движении с постоянной скоростью v пройденный путь s пропорционален времени t и выражается формулой s = v t, т.е. s – линейная функция t.
Пример линейной функции дает зависимость между различными шкалами температур. Абсолютная температура tk (по Кельвину) связана с температурой tc на шкале Цельсия формулой tc = tk + 273^o , а переход от температуры по Фаренгейту (шкале принятой до сих пор в Англии и США) tф к температуре на шкале Цельсия tc выражается такой линейной функцией: tф = 1,8 tc + 32^o(на шкале Цельсия промежуток между точкой замерзания и точкой кипения разделен на 100 частей, а на шкале Фаренгейта - на 180, и 0^oС соответствует 32^oФ).
Частный случай линейной функции – прямая пропорциональная зависимость y = a x, т.е. линейная функция при b = 0. График этой функции есть прямая, проходящая через начало координат. Число a называется угловым коэффициентом прямой (рис.1).

График линейной функции y = a x + b (b<>0) получается из графика функции y = a x параллельным переносом на b единиц вверх при b > 0 и на b единиц вниз при b < 0 (рис.2).Поскольку прямая определяется своими двумя точками, то для построения графика линейной функции достаточно найти координаты лишь двух ее точек.
Линейная функция простейшая и, можно сказать важнейшая среди всех функций. Многие физические законы выражаются с помощью линейной функции. Важно то, что целый ряд сложных нелинейных зависимостей «в малом» можно считать линейными. Например, по закону Гука при небольших удлинениях (и только при них) сила упругости F пропорциональна величине
x - удлинению пружины: F = - k x.
ДВА ПОЕЗДА
Два поезда длиной в 200 ми 100 м двигаются по параллельным путям равномерно со скоростью: первый — 60 и второй — 30 км/час.
Сколько времени один поезд идет мимо другого?
Рассмотреть два случая:

1) поезда идут в одном направлении, т.е. один поезд обгоняет другой и,
2) поезда идут в противоположных направлениях, т.е. навстречу друг другу.

Решение
Подобные задачи встречаются во многих задачниках и решаются арифметически очень просто. Суммарная длина поездов 200 + 100 - 300 (м). Если оба поезда идут в одном направлении, то скорость одного поезда относительно другого равна 60 — 30 = 30 (км/час) = (м/сек). Следовательно, один поезд идет мимо другого 300 : = 36 (сек.)
Если же поезда идут навстречу друг другу, то их относительная скорость равна 60 + 30 = 90 (км/час) = (м/сек). Следовательно, один поезд пройдет мимо другого за 300 : = 12 сек.
Так как в обоих случаях делимое одно и то же - сумма длины обоих поездов, — то ответы не изменяются, если мы поменяем длины поездов, т.е. если длина первого поезда будет 100 м, а второго 200 м.
Графики дают возможность исчерпывающе проанализировать ход событий.
Рассмотрим первый случай: один поезд обгоняет другой (рис. 3). Начерченные графики а) и б) показывают движение поездов при обгоне с момента совпадения головы поезда № 1 с хвостом поезда № 2 (точка А).
Прямая АЕ - график движения головы поезда № 1, прямая ВF - график движения хвоста того же поезда. Темно-серая полоса — «график» движения поезда № 1 в целом.
Прямая СF — график движения головы поезда № 2, прямая АD — график движения хвоста того же поезда. Светло-серая полоса - «график» движения поезда № 2 в целом.
Точка Е изображает встречу головы поезда № 1 с головой поезда № 2. Точка D изображает встречу хвоста поезда № 1 с хвостом поезда № 2. Точка F изображает встречу хвоста поезда № 1 с головой поезда № 2.
Проекция ломаной АEF (или ломаной ADF) на ось абсцисс указывает время, в течение которого один поезд идет мимо другого. Проекция отрезка AD (на рис. 3 а) и отрезка АЕ (на рис. 3, 6) на эту же ось показывает промежуток времени, в течение которого короткий поезд «втягивается» в длинный: проекция отрезка ЕF (на рис. 3, а) и отрезка DF (на рис, 3, 6) показывает промежуток времени, в течение которого короткий поезд постепенно выходит из контакта с длинным.
Проекция ломаной DGE или DНЕ на эту ось — промежуток времени, в течение которого короткий поезд находится целиком в контакте с длинным.
Проекция ломаной AEF (или ломаной АDF) на ось ординат указывает участок пути, на котором происходят все три стадии обгона одного поезда другим. Проекция параллелограмма DGEH на эту ось указывает участок пути, на котором имеет место полный контакт поездов. Рисунки 3, а и б показывают, что эти участки разной длины: 500 - 200 = 300 (м), если поезд № 2 длиннее поезда № 1, и 500 - 300 = 200 (м), если поезд № 1 длиннее поезда № 2. Что касается времени «полного совпадения» поездов, то этот промежуток одинаков в обоих случаях (он равен 12 сек.).

Графическое изображение движения поездов
График движения поездов является основой организации всей перевозочной работы на железнодорожном транспорте. Он обязателен для всех подразделений железных дорог. График организует работу всех подразделений в единое целое. Соблюдение графика движения поездов и предупреждение его нарушений является главным условием для всех работников, связанных с организацией движения.
График движения поездов составляется на стандартной сетке с масштабом времени и расстояний. Горизонтальными линиями обозначаются оси раздельных пунктов, расстояния между которыми соответствуют расстояниям между осями раздельных пунктов.
По вертикали сетка утолщенными линиями разделена на 24 часа. Каждая часовая полоса тонкими линиями делится на 6 равных полос, соответствующих 10-минутным интервалам. Получасовые линии для удобства чтения выделяются пунктиром.
Обычный масштаб времени 5 мм ~ 10 мин, а на участках с размерами движения за сутки 100 пар поездов и более - 10 мм - 10 мин.
С левой и правой стороны сетки помешаются таблицы, в которых указываются все необходимые данные по графику движения.
С левой стороны - пишется время хода пассажирских и грузовых поездов по перегонам в четном и нечетном направлениях с указанием времени на разгоны и замедления при следовании поезда с остановками. Здесь же в клетке указывается дополнительное время на предупреждение по ограничению скоростей. Цифры разгона - замедления для грузовых поездов указываются слева, для пассажирских - справа в четном и нечетном направлениях.
В реальных условиях поезд по перегонам следует с переменной скоростью. После трогания с места поезд начинает набирать скорость (разгон), затем следует с постоянной скоростью, перед остановкой начинает торможение (замедление) – скорость падает до нуля.
Но изображать линии хода поездов на графике кривыми наклонными очень неудобно. Поэтому условно принято линии хода показывать прямыми наклонными. Над линией хода пишется номер поезда. Нечетные поезда на графике изображаются сверху вниз, четные – снизу вверх. Пассажирские поезда - красной линией, грузовые поезда – черной.
Логарифмическая функция
Ведущий: -

Встать, суд идёт.
Прошу всех сесть.

Судья:

Этот человек утверждает,
Что логарифмы не нужны
И их не применяют.
Слово представляю прокурору
Объясните суть спора.

Прокурор:

подсудимый глупо рассуждает,
Истории, к тому же он не знает.
Веками люди над открытием трудились,
Облегчить вычисления стремились
С тем логарифм и был изобретён,
И функция придумана потом.
Одни таблицы, что Непера стоят?
Компьютеры, на чьей основе строят?
Линейка им прабабушкой была,
И скольким людям в жизни помогла.

Судья:

Свидетелям теперь я слово представлю,
Их показанья без вниманья не оставлю.

Свидетель:

Друзья, поверьте:
Самая интересная, полезная и лирическая
Это - функция логарифмическая.
Спросите вы «А чем интересна?»
А тем, что обратна она показательной
И относительно прямой у=х, как известно,
Симметричны их графики обязательно.
Проходит график через точку (1;0)
И в том ещё у графика соль,
Что в правой полуплоскости он «стелется»,
А в левую попасть и не надеется.
Но если аргументы поменяем,
Тогда по правилам кривую мы сдвигаем,
Растягиваем, если надо, иль сжимаем
И относительно осей отображаем.
Сама же функция порою убывает,
Порою по команде возрастает.
А командиром служит ей значение а,
И подчиняется ему она всегда.
Теперь полезность мы вам чётко обоснуем
И яркую картину нарисуем.
Вот вы когда-нибудь слыхали
О логарифмической спирали?
Моллюсков многих и улиток
Ракушки тоже все завиты.
И как сказал поэт великий Гёте:
«Вы совершеннее строенья не найдёте!»
И эту спираль вы повсюду найдёте:
К примеру, ножи в механизме вращая.
В изгибе трубы мы её обнаружим -
Турбины тогда максимально послужат!
В подсолнухе семечки тоже закручены,
И паука все плетенья заучены.
Наверняка, и о том вы не знали,
Галактики тоже кружат по спирали!

Подсудимый (вскакивая с места)

Как не прав я был, друзья
Утверждая, смело:
|«Логарифмы – ерунда,
Не нужны для дела!»
Логарифмы – это всё!
Музыка и звуки!
И без них никак нельзя
Обойтись науке.

Ппоказательная функция
Слушайте, слушайте, слушайте внимательно!
И тогда признаете обязательно: самая важная - функция показательная!

По закону показательной функции размножалось бы всё живое на Земле, если бы для этого имелись бы благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было бы вдоволь пищи. Доказательством тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
Если бы все маковые зёрна давали всходы, то через 5 лет число «потомков» одного растения равнялось бы 243*10¹⁵ или приблизительно 2000 растений на 1 кв. м. суши.
Потомство комнатных мух за лето от одной самки может составить 8*10¹⁴ . Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за два года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечёт за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.
В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества -= процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови
В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем согласно формуле Т = Т₀ + (100 – Т₀) е^-кт. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи, при падении тел в воздухе с парашютом. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.
Вы все слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-е годы описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом развили учёные – атомщики. Как управлять этим процессом в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции.

Ведущий

Ну, что убедились, что мы победили?
Теперь признаёте за нами вы право
Её описать поведенье

Функция

Я и сама могу сказать
И график свой вам показать.
Хоть нет названья линии моей,
И нет, как у параболы ветвей,
Я – положительна! И это всем вам видно
И жмусь к оси Ох одним концом я безобидно,
Вторым кон...

ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами методического материала урезан на треть (33%)!

Чтобы просматривать этот и другие тексты полностью, авторизуйтесь на сайте:

Ваш id: Пароль:

РЕГИСТРАЦИЯ НА САЙТЕ

Простая ссылка на эту страницу:

Ссылка для размещения на форуме:

HTML-гиперссылка:

Добавлено: 2012.05.24 | Просмотров: 1952
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательна!