Главная / Методические материалы / Преподавание математики

Занятие элективного курса Методы решения уравнений. содержащих модуль

Автор(ы): Харченко Тамара Леонидовна, учитель математики

Notice: Undefined variable: content in /home/area7ru/area7.ru/docs/metodic-material.php on line 278
Цели и задачи:

познакомить с методами решения уравнений, содержащих под знаком модуля выражение с переменной;
формирование умения решать данные уравнения, научить выбирать наиболее рациональный метод решения уравнений;
развитие логического мышления, речи;
создание условий, способствующих воспитанию у учащихся внимательности и аккуратности в решении уравнения.

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Формы контроля: самопроверка самостоятельно решенных задач.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, папка с файлами (практикум), презентация урока (слайды).
Ход занятия
Фронтальный опрос.
Сформулируйте определение модуля числа.
Сформулируйте геометрическое истолкование модуля.
Может ли быть отрицательным значение суммы 2+?
Может ли равняться нулю значение разности 2-?
Как сравниваются два отрицательных числа?
Устная работа. Раскрыть модуль:

1. ;	6. ;
2. ;	7. ;
3. ;	8. при ;
4. ;	9. при ;
5. ;	10. при .

Проверка домашнего задания (класс разбит на 6 групп, каждая группа готовила презентацию по заранее выбранному методу, которая и будет представлять, и защищать ее).
Изучение нового материала.
1. Метод интервалов
Для того, чтобы решить уравнение, содержащее неизвестную под знаком модуля, необходимо освободиться от знака модуля, используя его определение. Для этого следует:
1) Найти критические точки, т.е. значение неизвестной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль;
2) Разбить область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых, выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак;
3) На каждом из этих промежутков уравнение записать без знака модуля, а затем решить его.
Объединение решений, найденных на всех промежутках, и составляет решение исходного уравнения.
Пример 1. Решите уравнение: |x+4|=2x -10.

(- ;- 4)	[-4;+ )
- х - 4 = 2х -10 3х=6 х=2 (- ;-4)	х+4=2х-10х=14 [-4;+ )

Ответ: 14.
Пример 2. Решите уравнение: х ²-5|x|+6=0

(- ;0)	[0;+ )
х +5х+6=0х₁ =-2 (- ;0) х₂ =-3 (- ;0)	х -5х+6=0х₁ =2 [0;+ ) х₂=3 [0;+ )

Ответ: 2; 3.
Пример 3. Решите уравнение: |5-2x|+|x+3|=2-3x
5-2x=0 x+3=0
х=2,5 х=-3

	(- ;-3)	[-3;+2,5)	[-2,5;+ )
5-2х	+	+	-
х+3	-	+	+

(- ;-3)	[-3;+2,5)	[-2,5;+ )
5-2х-х-3-2+3х=00х=0 х-любое число (- ;-3)	5-2x+x+3-2+3x=02х=-6 х=-3 [-3;2,5)	2х-5+х+3-2+3х=06х=4 x=2/3 [2,5;+ )

(- ;-3) {-3}=(- ;-3]
Ответ: (- ;-3].
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Для того, чтобы решить уравнение содержащее модуль, необходимо освободиться от знака модуля. Для этого следует: возвести в квадрат обе части уравнения, решить его. Но не забывать, что при возведении в квадрат появляются лишние корни, поэтому, надо найти ОДЗ и выявить принадлежат ли корни данному условию.
Пример 4. Решите уравнение: |x+4|=2x-10.
Возведем в квадрат обе части уравнения
X² +8x+16=4x² -40x+100
3x² -48x+84=0 /3
X² -16x+28=0
X₁=14, X₂=2
Найдём ОДЗ:
2x-100;
2x10 ;
x5.
x₁=14 [5;+ ), х₂=2 [5;+ )
Ответ:14
Пример 5. Решите уравнение: |x+3|=2x-3
Возведем в квадрат обе части уравнения
х² +6x+9=4x² -12x+9; 3x² -18x=0 /:3
х² -6x=0; x(x-6)=0
x=0, x=6.
Найдём ОДЗ: 2х-30, 2x3, x1,5
x=0 [1,5;+)
x=6 [1,5;+ )
Ответ: 6.
3. Метод введения новой переменной
Иногда уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, можно решить довольно просто, используя метод введения новой переменной.
Продемонстрируем данный метод на конкретных примерах:
Пример 6. Решите уравнение: х² -5|x|+6=0.
Пусть |x |=t,тогда
|x|² =x² =t² ,тогда уравнение примет вид:
t² -5t+6=0
t₁=2, |x |=2, x_1,2= 2,
t₂=3, |x |=3, x_3,4= 3.
Ответ: 2, 3.
Пример 7. Решите уравнение: (x-2)² - 8|x-2|+15=0.
Пусть |x-2|=t ,|x-2|² =(x-2)² =t² ,
тогда уравнение примет вид: t² -8t+15=0, D=16-15=1.
t₁=3, t₂=5.
t₁=3, |x-2|=3, x₁=5, x₂=-1.
t₂=5, |x-2|=5, x₃=7, x₄=3.
Ответ: -1; 3; 5; 7.
4. Метод замены уравнения совокупностью систем.
Рассмотрим ещё один метод решения подобных уравнений - метод замены уравнения совокупностью систем. Методом замены уравнения совокупностью систем можно решать уравнения вида
(2)
Причём данное уравнение можно заменять совокупностью систем двумя способами.
I способ:
II способ:
Если в уравнении функция имеет более простой вид, нежели функция , то имеет смысл исходное уравнение заменять первой совокупностью систем, а если более простой вид имеет функция , тогда исходное уравнение следует заменять второй совокупностью систем.
В частности, используя определение модуля, уравнение: ,
при С 0 равносильно совокупности уравнений и , т.е.
при С=0
при С0 уравнение решений не имеет.
Воспользуемся данным методом при решении следующих уравнений.
Пример 8. Решите уравнение: 2|х²+2х-5|=х-1.
Данное уравнение равносильно совокупности систем:


2х²+4х-10-1+х=02х²+5х-11=0 Д=113	2х²+4х-10-х+1=02х²+3х-9=0 Д=81=9².

Ответ: .
Пример 9. Решите уравнение: |2|x-1|-3|=5.
Используя определение модуля уравнение <=> совокупности двух уравнений:

Первое уравнение совокупности равносильно совокупности двух уравнений:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, т.к.
Ответ: -3; 5.
5. Графический метод
Существует ещё один метод решения уравнений с модулем. Он основан на геометрической интерпретации понятия абсолютной величины числа, а именно модуль х равен расстоянию от точки с координатой х до точки с координатой 0 на числовой прямой Ох. Используя геометрическую интерпретацию, легко решаются уравнения вида:
(4)
(5)
(6) где а,в,с - числа.
Решить уравнение (4) - это значит найти все точки на числовой оси Ох, которые отстоят от точки с координатой а на расстояние с.
При уравнение решений не имеет;
при уравнение имеет один корень;
при уравнение имеет два корня
Решить уравнение (5) - это значит найти все точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от неё до точки с координатами а и в равна с.
Аналогично интерпретируется решение уравнения вида (6).
Пример 12. Решите уравнение: |x-1|-|x-3|=2
Для того, чтобы решить данное уравнение, нужно на числовой оси Ох найти все такие точки, для каждой из которых разность расстояния от нее до точки с координатой 1 и расстояния от неё до точки с координатой 3 равна 2. Так как длина отрезка [1;3] равна 2,то ясно, что любая точка с координатой х3 удовлетворяет данному уравнению, а любая точка с координатой х<3 не удовлетворяет ему. Таким образом, решением исходного уравнения является множество чисел промежутка [3;+ ).
Ответ: [3;+ ).
Рассмотренный метод можно отнести к графическим методам решения уравнения. Все необходимые построения здесь производились на числовой оси. Рассмотрим теперь метод решения уравнения, в котором будем использовать построения на координатной плоскости. Этим методом, теоретически, можно решать уравнения с модулем любого вида, однако практическая реализация метода иногда бывает довольно сложной.
Суть метода состоит в следующем. Решить уравнение f(х)=q(x) это значит найти все значения х, для которых значение функций y=f(x) и y=q(x) равны, т.е. найти абсциссы всех точек пересечения графиков этих функций. Если же графики не имеют общих точек, то уравнение не имеет корней. Следует, однако, иметь в виду, что точное построение графиков функций практически невозможно, поэтому решение, найденное графическим способом требует проверки подстановкой.
Воспользуемся этим методом для решения уравнения вида (3).
Пример 13. Решите уравнение: |- 1| = 3.
Решение. Построим графики двух функций y=|-1| и y=3
Из чертежа видно, что графики имеют 2 общие точки. Координаты одной точки: (8; 3) , д...

ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами методического материала урезан на треть (33%)!

Чтобы просматривать этот и другие тексты полностью, авторизуйтесь на сайте:

Простая ссылка на эту страницу:

Ссылка для размещения на форуме:

HTML-гиперссылка:

Добавлено: 2012.08.15 | Просмотров: 1991
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательна!