Главная / Методические материалы / Преподавание математики
Применение математических софизмов на уроках математики
Автор(ы): Сергеева Лариса Викторовна, учитель информатики
Notice: Undefined variable: content in /home/area7ru/area7.ru/docs/metodic-material.php on line 278
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОФИЗМ – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Мартин ГАРДНЕР Трудно, изучая математику, не заинтересоваться математическими софизмами. В 2003 году в издательстве “Просвещение” вышла книга А.Г. Мадеры и Д.А.Мадеры “Математические софизмы”, в которой более восьмидесяти математических софизмов, по крупицам собранным из различных источников. Цитата из книги: “Математический софизм представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату. Причем полученный результат может противоречить всем нашим представлениям, но найти ошибку в рассуждении зачастую не так-то просто; иной раз она может быть и довольно тонкой и глубокой. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач. Эффектная демонстрация “доказательства” явно неверного результата, в чем и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и “закрепить” то или иное математическое правило или утверждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению.” Для развития познавательной деятельности математические софизмы можно применять при изучении математики в школе: - на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;
- в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибку в МС, придумать свои МС);
- при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;
- на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;
- при написании реферативных и исследовательских работ.
Математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем. При разборе МС выделяются основные ошибки, “прячущиеся” в МС: - деление на 0;
- неправильные выводы из равенства дробей;
- неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
- нарушения правил действия с именованными величинами;
- путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
- проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
- неравносильный переход от одного неравенства к другому;
- выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
- ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.
Самыми популярными являются 1-3. Цели применения МС на уроках математики могут быть самыми разнообразными: - изучение исторического аспекта темы;
- создание проблемной ситуации при объяснении нового материала;
- проверка уровня усвоения изученного материала;
- для занимательного повторения и закрепления изученного материала.
Часто применяя на уроках МС, я составила с помощью учеников на факультативных занятиях таблицу применения МС на уроках алгебры в7-8-[ классах (Приложение1). Это была интересная и познавательная для ребят работа, которая завершилась важным практическим результатом, которым можно воспользоваться при проведении урока. В книге[1] представлена большая группа софизмов, которые можно применять при изучении темы “Свойства арифметического квадратного корня”, повторяя при этом темы “Преобразование многочленов”, “Формулы сокращённого умножения”. Например: “Все числа равны между собой” Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество: а-2ab+b= b-2ab+ а Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать (а-b)2 = (b-а)2. (1) Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим: a-b = b-a (2) или 2а = 2b, или окончательно a=b. “Единица равна двум” Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства 1-3 = 4-6. Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство 1-3 + = 4-6+, в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е. (1-)=(2-) Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство: 1-=2- откуда следует, что 1=2. Комментарий. По определению представляет собой некоторое неотрицательное число, которое, будучи возведено в квадрат, даст х2. Ясно, что этому определению удовлетворяют два числа, а именно х и -х. Итак, если число х неотрицательно (х>0), то =х; если же число х отрицательно, т. е. число -х положительно, то = - x. Отсюда заключаем, что (свойство арифметического квадратного корня), что не учитывается в содержании этих софизмов и приводит к ложным выводам. Но все же самой популярной ошибкой в софизмах является “Деление на 0”. “Деление на нуль является одним из наиболее распространенных источников ошибок при проведении преобразований различных выражений и при решении уравнений. “Сокращение” уравнений на общий множитель зачастую приводит либо к потере корней уравнения, либо к приобретению посторонних корней, либо вообще к бессмыслице.” [1] Предупредить ошибки подобного рода поможет рассмотрение софизмов. Например при изучении темы “Преобразования многочленов” в 7кл. “Неравные числа равны.” Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-b = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим (а-b)2 = = c(a-b), a раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab + b2 = = ca-cb, из которого следует равенство а2- аb - ас = аb -b2 -bc. Вынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа за скобки, получим а(а-b-с) = b(а-b-с). (1) Разделив последнее равенство на (а-b-с), получаем, что а=b, другими словами, два неравных между собой произвольных числа а и b равны. Разбор софизма: Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (1) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, т. е. а-b = с, откуда а-b-с = 0. Можно записать равенство (1) в виде а-0= b-0. Переход от равенства (1) к равенству а = b осуществляется путем деления обеих частей (1) на равное нулю число а-b-с = 0. Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство а0 = b0 выполняется при любых а и b. Поэтому вывод, сделанный в софизме, что числа а и b равны, неверен. Неоценимую помощь оказывают МС для более глубокого осмысления материала на уроках геометрии. Например, софизм, который можно использовать на уроке по теме “Окружность”, повторяя при этом тему “Признаки равенства треугольников”: “В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру” В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению. Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому АВ=СЕ т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды. Разбор софизма. В софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE равны, ссылаясь при этом на признак равенства треугольников по стороне и двум углам. Однако такого признака нет. Правильно сформулированный признак равенства треугольников гласит: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники ...
ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами методического материала урезан на треть (33%)!
Чтобы просматривать этот и другие тексты полностью, авторизуйтесь на сайте:
|
|
Добавлено: 2012.08.20 | Просмотров: 1434
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательна!
|