Главная / Методические материалы / Преподавание математики

Разработка урока по теме Квадратные уравнения (методы решения)

Автор(ы): Полетаева Юлия Анатольевна, учитель математики

Notice: Undefined variable: content in /home/area7ru/area7.ru/docs/metodic-material.php on line 278
Цели урока:
обучающие

обобщение и систематизация знаний по теме.
ликвидация пробелов в знаниях учащихся.
установление внутри предметных связей изученной темы с другими темами курса алгебры.

развивающие

расширение кругозора учащихся
пополнение словарного запаса
развитие мышления, внимания, умения учиться

воспитание общей культуры
Оборудование: PC, проектор, экран; у каждого ученика: конспект, пригласительный билет
Организационный момент.
- Приветствие учащихся; проверка готовности к уроку.
- Сообщение темы урока: “Квадратные уравнения. Методы решения”.
- Совместное формулирование цели урока
Сегодня у нас несколько необычный урок – урок-презентация методов решения квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?
(Речь идет о методах, значит их много (больше одного), надо каждый вспомнить и проиллюстрировать примером)
Иными словами обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо?
(Для возможности выбора рационального пути решения).
Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.
Актуализация знаний.
Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными.
(Уравнение вида , где х - переменная, a,b,c – числа , называется квадратным.)
Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?
(а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член)
Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов.
Первый вид квадратных уравнений – неполные квадратные уравнения.
С этим видом квадратных уравнений мы познакомились на первых уроках изучения квадратных уравнений. Вспомним, какие виды неполных квадратных уравнений бывают и как они решаются. (анализ таблицы) < приложение1>
Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения, записанные в стандартном виде. Прежде всего, обратимся к понятию дискриминанта. Для чего и зачем он нужен? Вспомните слово “дискриминация”, что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к разным людям. Оба слова (и дискриминант и дискриминация) происходят от одного латинского слова, означающего “различающий”. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней. (анализ слайда). Важное дополнение: в таких случаях (D<0) обычно уточняют – нет действительных корней. Дело в том, что в математике кроме действительных чисел, рассматриваются так называемые мнимые числа; так вот мнимые корни у такого уравнения есть. О мнимых числах и разрешимости таких квадратных уравнений мы поговорим в старших классах.
Мы вспомнили всю “азбуку” квадратного уравнения?
(Нет. Мы не вспомнили теорему Виета)
Формулируем, обращая внимание на условие D0.
Итак, все необходимые, азбучные методы решения повторили, и я приглашаю вас на презентацию иных методов решения квадратных уравнений. И для начала заполним пригласительный билет, лежащий у каждого из вас на столе. <приложение 2>
(Подписывают и заполняют таблицу)
Проверим. Возьмите в руки простой карандаш и сверим ответы.
Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные билеты вперед.
Презентация специальных методов.
Обратимся к конспекту урока. Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”.
Метод выделения квадрата двучлена.
Цель: Привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.
В этом нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:
Решим уравнение х²-6х+8=0 методом выделения квадрата двучлена.

или
Ответ: 2;4.
Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.
(Обратить внимание на возможность пойти иным путем, применяя формулу разности квадратов).
Метод “переброски” старшего коэффициента
Суть метода состоит в то, что корни квадратных уравнений
ax² + bx + c = 0 и y²+by+ac=0
связаны соотношениями:
и
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y²+by+ac=0, которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.
Пример: решите уравнение
2х²-9х-5=0
заменим приведенным квадратным уравнением с “переброской” коэффициента а

( D>0 ), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

вернемся к корням исходного уравнения

Ответ: 5; -0,5
Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.
Следующие два метода также применимы при определенных условиях и позволяют избежать громоздких вычислений.
Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
Пример: решите уравнение
157х²+20х-177=0
a = 157, b = 20, c = -177
a + b+ c =157+20-177=0
x₁ = 1,
x₂ = =
Ответ: 1;
Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен
Пример: решите уравнение
203х²+220х+17=0
a = 203, b = 220, c = 17
a + c = 203 + 17 = 220 = b
х₁ = -1,

Ответ: -1;
Вывод: при решении квадратного уравнения стандартного вида полезно сначала проверить являются ли числа 1 и -1 корнями уравнения.
Однако, при выборе пути решения квадратного уравнения следует помнить, что помимо специальных методов возможно применение и общих методов решения уравнений.
К таким методам относятся:

Разложение на множители;
Введение новой переменной;
Графический способ.

Презентация общих методов решения уравнений (Презентация).
Метод разложения на множители.
Цель: Привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
Способы:

Вынесение общего множителя за скобки;
Использование формул сокращенного умножения;
Способ группировки.

Пример: решите уравнение
3х²+2х-1=0

произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.

или

Ответ: -1; .
Метод введения новой переменной
Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.
Пример: решите уравнение

Пусть: t = 5х + 3
Произведем замену переменной

(Устно проверим условие D > 0) по теореме, обратной теореме Виета

t₁ = 1, t₂ = 2
Произведем обратную замену и вернемся к переменной х
Если t = 1, то

Если t = 2, то

Ответ: -0,4; -0,2
Вывод: при решении уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Посмотрите, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную.
И, наконец, наиболее “зрелищный” метод.
Графический метод.
Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций y = f(x),
y = g(x) и найти точки их пересечения; абсцис...

ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами методического материала урезан на треть (33%)!

Чтобы просматривать этот и другие тексты полностью, авторизуйтесь на сайте:

Простая ссылка на эту страницу:

Ссылка для размещения на форуме:

HTML-гиперссылка:

Добавлено: 2013.02.10 | Просмотров: 2710
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательна!