Главная / Методические материалы / Преподавание математики

Урок алгебры в 10-м классе по теме Условия существования решений тригонометрических уравнений

Автор(ы): Сахарова Лидия Ивановна, учитель математики

Notice: Undefined variable: content in /home/area7ru/area7.ru/docs/metodic-material.php on line 278
Цели:

Обобщить и систематизировать материал по теме “Решение тригонометрических уравнений”
Провести диагностику усвоения системы знаний и умений ее применения для выполнения заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
Содействовать рациональной организации труда.
Развивать познавательные интересы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность.
Выработать критерии оценки своей работы.
Повышать интерес учащихся к нестандартным задачам.
Формировать у учащихся положительный мотив учения.

Содержание темы. Исследование и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить, при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их.
Тип урока. Интегрированный урок обобщения и систематизации знаний.
Организационные формы общения. Групповая, индивидуальная.
Оборудование.

ноутбук,
проектор,
экран.

Структура урока:

мотивационная беседа с последующей постановкой цели;
актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведется повторение основных фактов, ведущих идей и основных теорий на основе систематизации знаний.
Диагностика усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
Подведение итогов урока.
Творческое домашнее задание
Рефлексия.

Ход урока
Мотивационная беседа. Решая тригонометрические уравнения, мы использовали различные способы. Их немало, повторим некоторые. На сегодняшнем уроке нам предстоит исследование и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить, при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их.
Актуализация опорных знаний.
Устно среди уравнений (слайд)

2sin²x - 5cos²x = 3sinxcosx
sin²x + cos²2x = 3/2.
cosx·sin7x = cos3x·sin5x,
sin²x - 2sinx – 3 = 0,
2 cosx – sinx = 0,
sinx + sin3x = sin5x – sinx,
sinx – sin2x + sin3x – sin4x = 0,
3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0,
sin²x - √3/3 sin2x = cos²x,
sinx + cosx = 1,

выбрать те, которые решаются:

а) заменой переменной;
б) приведением к квадратному;
в) делением на старшую степень синуса или косинуса, т. е. как однородные;
г) понижением степени;
д) с помощью формул суммы или разности;
е) методом вспомогательного аргумента.

а) Приведением к квадратному и заменой переменной решаются уравнения 4, 8.
sin²x - 2sinx – 3 = 0
пусть sinx = t, тогда t²+ 2 t – 3 = 0, где t = -3; 1.
Учитывая, что |sinх|≤1, а -3<-1, имеем sinx = 1,
Х =π/2+2 π n, n Є Z.
Ответ: π /2+2 πn, n Є Z.
3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0
sin²x = 1 - cos²x, значит, 3 - 3cos²x + 2cos²x +2cosx = 0,
cos²x - 2cosx – 3 = 0,
пусть cosx = t, тогда t²- 2 t – 3 = 0, где t = 3; -1
3>1, значит, cosx = -1,
Х = π + 2 π n, n Є Z.
Ответ: π + 2 π n, n Є Z.
б) Делением на старшую степень решаются уравнения 1, 5, 9.
2sin²x - 5cos²x = 3sinxcosx
Разделив каждое слагаемое на cos²x,получим.
2tg²х - 3tgх - 5 = 0,
Пусть tgх = p, тогда 2p² - 3p - 5 = 0, где p = 2,5; -1,
tgх =2,5, х = arctg2,5 + πn, n Є Z;
tgх = -1, х = π /4 + π n, n Є Z.
Ответ: arctg2,5 + π n, n Є Z; π /4 + π n, n Є Z.
√2 cosx – sinx = 0 |: cosx, cosx≠0,
tgх = √2, х = arctg√2 + πn, n Є Z
ответ: arctg√2 + π n, n Є Z
sin²x - √3/ 3sin2x = cos²x |: cos²x, cosx≠0
tg²х - √3/3 tg x- 1 = 0,
tgх = √3/6(1 ± √13), х = arctg √3/6(1 ± √13)+ π n, n Є Z;
ответ: arctg √3/6(1 ± √13)+ π n, n Є Z
в) Понижение степени используют при решении уравнения 2.
sin²x + cos²2x = 3/2.
sin²x + 1/2(1 +cosx) =3/2,
2 sin²x + 1 +cosx -3 = 0,
2 - 2 cos²x + 1 +cosx -3 = 0,
2 cos²x - cosx = 0,
cosx(2 cosx – 1) = 0,
cosx = 0 или cosx = 1/2
Х = π /2 + π n, n Є Z или Х = ± π /3 + 2 π n, n Є Z.
Ответ: ± π /3 + 2 π n, n Є Z; π /2 + π n, n Є Z.
г) С помощью формул суммы или разности решаются уравнения 6, 7.
sinx + sin3x = sin5x – sinx
2 sin2x cosx - 2 sin2x cos3x = 0,
sin2x (cosx - cos3x) = 0,
sin²2x sinx = 0,
sin2x = 0 или sinx = 0,
Х = π /2 n, n Є Z или Х = π n, n Є Z.
Объединив множества, получим, Х = π /2 n, n Є Z
Ответ: π /2 n, n Є Z
д) Методом вспомогательного аргумента, который состоит в преобразовании выражения asinx ± bcosx к виду √(a² + b²) sin(x±φ), где φ = b/√(a² + b²) решается уравнение 10.
sinx + cosx = 1.
Учитывая, что a= 1, b = 1, получим уравнение
√2 sin(x+φ) = 1, где φ = arcsin√2/2,
sin(x+ φ /4) = √2/2,
х = - π /4 + (-1) π /4+ π n, n Є Z.
Ответ: - π /4 + (-1) π /4+ π n, n Є Z.
Диагностика.
После повторения основ решения тригонометрических уравнений проверим ваше умение исследовать и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить, при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их. Вам предлагаются следующие задания:

найти а, при которых данные уравнения имеют решения:
Первое уравнение решаем вместе, рассуждая, дополняя друг друга.

2sinx -3 cosx = а.

Поделим обе части уравнения на √( 2²+ 3²) = √13, получим
2/√13 sinx – 3/√13cosx = а/√13. Так как (2/√13)²+ (3/√13)² = 1, то, обозначая 2/√13 = cosφ, 3/√13 = sinφ, приведем уравнение к виду
sin(х – φ) = а/√13, где φ = arctg3/2. Из условия |sin(х – φ)|≤1 получаем
|а|≤√13.

ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами методического материала урезан на треть (33%)!

Чтобы просматривать этот и другие тексты полностью, авторизуйтесь на сайте:

Ваш id: Пароль:

РЕГИСТРАЦИЯ НА САЙТЕ

Простая ссылка на эту страницу:

Ссылка для размещения на форуме:

HTML-гиперссылка:

Добавлено: 2015.02.05 | Просмотров: 1109
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательна!