Главная / Методические материалы / Преподавание математики

Урок алгебры в 11-м классе на тему Равносильность преобразований

Автор(ы): Олейник Любовь Алексеевна, учитель математики

Notice: Undefined variable: content in /home/area7ru/area7.ru/docs/metodic-material.php on line 278
Цели урока:

Повторить основные понятия темы;
Проанализировать процесс решения уравнений (неравенств) и обосновать цепочку переходов от исходного уравнения (неравенства) к равносильному;
Способствовать познавательной активности учащихся при помощи информационных технологий;
Создавать условия для реализации творческих способностей учащихся.

Тип урока: Защита проекта, урок обобщения знаний, повторения.
Ход урока
Учитель: Решая сложные задания (особенно из части С), мы постоянно сталкиваемся с моментами, где в кажущейся простой ситуации мы допускаем ошибки. В чем проблема?
Иногда при решении уравнений случаются неприятности: появляются "лишние" корни, теряются "нужные", а иногда непонятно, что делать дальше, потому, что неизвестное исчезло, а осталось "уравнение" 0 = 2 или 1 = 1. Чтобы справляться с такими неприятностями, надо хорошо понимать, что такое уравнение, и что мы делаем с ним в процессе решения. (далее привожу выступление ученика по его проекту).
Докладчик: Начну с определения уравнения [слайд №3]
Уравнением называется запись f = g, где f и g — две функции, заданные на одном и том же множестве А. Множество А называется областью определения уравнения (или ОДЗ). Таким образом, чтобы задать уравнение, мало написать f = g, еще надо указать А - его область определения (сл.№4)
Обычно область определения уравнения не упоминается — нам говорят "решите уравнение", например, данное: х² + 2 = 4х и мы сразу понимаем, что область определения уравнения — любое число, т.к. при этом условии имеет смысл и f, и g.
Я разобрала на составные части процесс решения уравнения, чтобы точно узнать, откуда берутся ошибки, и какие меры предосторожности надо принимать.
Пусть дано уравнение [слайд №5]
Упростив его левую и правую части по отдельности, получим
Разделим числитель и знаменатель левой части на х², а правой — на х, сделаем подстановку . Получим уравнение [слайд 6]
откуда. . Отсюда и = 0 или и = 1.
Вернемся к замене: [слайд 7]
,
решений не дает.
,
x=1.
Казалось бы, уравнение решено. Если, однако, попытаться подставить в исходное уравнение х = 1, то мы убедимся, что это – не корень (на нуль делить нельзя!) [слайд№8] С другой стороны, легко проверить, что х = 0 – корень уравнения, который мы почему-то не нашли. Где же мы ошиблись? (идет обсуждение).
В уравнении: , мы делили числители и знаменатели дробей на х, что можно делать только при; стало быть, если 0 является корнем, то при этой операции мы его потеряем. В таких случаях проще всего сразу подставить х = 0 в уравнение и посмотреть, корень ли это. Убедившись, что в данном случае это – корень, и запомнив это, пойдем дальше. Но удобнее всего было бы перенести все в левую часть и привести к общему знаменателю: [слайд №9] .
Решение этого уравнения очевидно (дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Рассмотрим простейшее иррациональное уравнение. [слайд № 10]
Пример 1. (1)
Решение. Возведя обе части в квадрат, получим квадратное уравнение(2). Все решения исходного уравнения (1) являются решениями уравнения (2) (если числа равны, то и их квадраты равны). Иными словами, уравнение (2) является следствием уравнения (1). Однако среди решений уравнения (2) могут быть не только нужные нам числа: ведь и данное (3):после возведения в квадрат даст то же самое уравнение (2), а значит, все корни этого "постороннего" уравнения, если таковые есть, также будут корнями (2). [Слайд №11]. Поэтому, решив уравнение (2), надо еще отобрать среди найденных корней те, которые удовлетворяют нашему уравнению (1). В нашем случае это сделать совсем просто: решая (2), квадратное, находим ; подстановкой в (1) убеждаемся, что подходит, а нет.
Но часто бывает ситуация, когда подстановкой проверить корни почти невозможно.
Пример 2. (слайд №12) (1) Возводим в квадрат, получаем уравнение:
(2). Находим корни: .
Мы выполнили неравносильные преобразования, возможно получили посторонние корни (решения уравнения (3), которое тоже при возведении в кв. дает (2), но как же теперь выбрать то, что нам нужно? Во всяком случае, подставлять такие числа в исходное уравнение (1) — занятие бесперспективное. Обратите внимание, что все корни квадратного уравнения – это либо корни нашего исходного уравнения, либо корни "постороннего" уравнения (3).
Т.к.. , то всякий корень уравнения– неотрицательное число, а всякий корень уравнения– неположительное число. А нам нужен корень только исходного, значит неотрицательное число. И в ответ выходит положительный корень. Ответ. .
[Слайд №13] Итак, уравнение равносильно системе:

Уравнение Б является следствием уравнения А, если все корни уравнения А являются корнями уравнения Б. Уравнения А и Б равносильны, если множества их корней совпадают. [слайд №14].
Считаю, что лучше тщательно изучить ход решения и выяснить, на каком этапе могли появиться "лишние" корни, и какие именно. Конечно, желательно, чтобы каждое новое уравнение было бы равносильно исходному (тогда лишних корней появиться не может), но этого можно добиться не всегда.
Я проанализировала некоторые ситуации при выполнении преобразований и выделила главные моменты. Что произойдет с естественной областью определения уравнения, если в нем заменить:
[слайд №15]
a) (ОДЗ сужается: была: , стала: )
б) (ОДЗ расширилась: была: , стала: x-любой)
г) ( )
д) (идет обсуждение)
Кстати, к этому сводится известная шутка – "доказательство" равенства 2 = 4: [слайд №16]
Поэтому, чтобы избежать таких "шуток", надо пользоваться равенствами: [слайд №17]

Решая уравнение из домашнего задания
я столкнулась с проблемами.
(Уравнение решается у доски и в тетрадях, затем докладчик продолжает).
Приведу верный вариант решения: [слайд №18]
0) Выпишем ОДЗ: .
1) Перейдем в левой части к логарифму по основанию 2 и разложим квадратные трехчлены на линейные множители:
.
2) Т.К. в ОДЗ , разделим обе части на и прологарифмируем степень в правой части: , получим:
.
3) Перенесем все в левую часть и вынесем за скобки [слайд№19]
или .
4) Приравнивая к нулю сомножители, получим совокупность уравнений:
а) ;
.
Ответ: .
б) ;
;
;
В данном случае на каждом из шагов выполнялись равносильные преобразования, учитывая ОДЗ. Значит, проверку можно не выполнять.
Проанализируем, какие ошибки возможны при решении: [слайд №20] (идет обсуждение).
0) Забудем про ОДЗ.
1)
2) , (допущены ошибки при логарифмировании степени).
3) или .
Здесь уже приобретен посторонний корень (мы же не учли ОДЗ) и подготовлена потеря корней. (Применение неверной формулы сузило ОДЗ: изначально , теперь строго > 4).
4) [Слайд №21] Тогда ;
а) если сократить на , то произойдет потеря корня и мы получим данный неверный ответ а) ,
б) если вынести за скобки, то , все равно уйдем от правильного ответа б) .
Я СДЕЛАЛА ВЫВОДЫ ИЗ РЕШЕННОГО ПРИМЕРА. [слайд №22]
1) Опасно делить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное (можно потерять корни).
2) Если уравнение со...

ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами методического материала урезан на треть (33%)!

Чтобы просматривать этот и другие тексты полностью, авторизуйтесь на сайте:

Простая ссылка на эту страницу:

Ссылка для размещения на форуме:

HTML-гиперссылка:

Добавлено: 2015.02.18 | Просмотров: 1173
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательна!