Главная / Методические материалы / Преподавание математики
О некоторых приложениях неопределенного и определенного интегралов
Автор(ы): Островерхая Лидия Дмитриевна, доцент кафедры прикладной математики
Notice: Undefined variable: content in /home/area7ru/area7.ru/docs/metodic-material.php on line 278
Имеется широкий круг задач, для решения которых применяются понятия неопределенного и определенного интегралов, и используются их свойства.
Рассмотрим некоторые типы таких задач, а именно, задачи на доказательство тождеств, неравенств, упрощение выражений, сравнение чисел.
В процессе их решения воспользуемся понятиями первообразной и неопределенного интеграла, а также указанным ниже свойством определенного интеграла.
Если функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и для каждого выполняется неравенство , то . Если, кроме того, существует хотя бы одна точка , для которой , то .
Итак, остановимся сначала на приложениях неопределенного интеграла.
Пример 1. Упростить .
Решение. Обозначим данное приложение через F(х) и сначала его преобразуем.
Найдем F’(х).
То есть, F’(х)=12sin4x+6sin2x.
F(х) является первообразной функцией для функции f(x)=12sin4x+6sin2x на промежутке . Тогда (где С – произвольная постоянная), откуда , то есть .
Тогда, подставляя вместо F(x) заданное выражение, получим . Возьмем любое значение х, например, х=0, и найдем С
Таким образом, имеем
Пример 2. Доказать тождество
Решение. Рассмотрим функцию и найдем F’(х). .
Функция F(x) является первообразной для функции f(x)=cosx-sinx (), то есть .
Таким образом, , определим С, взяв любое значение х.
Пусть, например, , тогда, подставляя это значение в последнее равенство, получим .
Таким образом, . Что и требовалось доказать.
Пример 3. Доказать неравенство .
Решение. Функция у=еt непрерывна и возрастающая на промежутке , следовательно, если . Проинтегрируем это неравенство в пределах от 1 до х (), воспользовавшись выше указанным свойством определенного интеграла.
откуда, разделив обе части неравенства получим , то и требовалось доказать.
Пример 4. Доказать, что для
1) ,
2) .
Решение.
1) Легко убедиться, что , если , рассмотрев, например, графическое решение неравенства.
Проинтегрируем это неравенство в пределах от 0 до t () и получим
Проинтегрируем полученное неравенство в пределах от 0 до х:
Что и требовалось доказать.
2) Для доказательства неравенства воспользуемся уже доказанным неравенством , проинтегриров...
ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами методического материала урезан на треть (33%)!
Чтобы просматривать этот и другие тексты полностью, авторизуйтесь на сайте:
|
|
Добавлено: 2010.10.27 | Просмотров: 1154
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательна!
|
