Главная / Методические материалы / Преподавание математики
О некоторых свойствах квадратного трехчлена, часто используемых для решения задач
Автор(ы): Зимняков Николай Николаевич, учитель математики
Notice: Undefined variable: content in /home/area7ru/area7.ru/docs/metodic-material.php on line 278
Квадратный трехчлен является основной функцией, изучаемой в школьном курсе математики. Однако, опыт подсказывает, что на вступительных экзаменах задачи с параметрами, решаемые как правило с помощью свойств квадратного трехчлена, вызывают определенные затруднения у учащихся. Довольно много учащихся не знакомы с условиями, необходимыми и достаточными для заданного расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси, не владеют геометрической интерпретацией задач, связанных с квадратным трехчленом, не умеют эффективно применять свойства квадратного трехчлена для решения задач, сформулированных непривычным образом.
Рассмотрим некоторые полезные для практики решения задач свойства квадратного трехчлена.
В дальнейшем будем считать, что квадратный трехчлен с нулевым дискриминантом имеет два равных корня . - Приемы устного решения квадратных уравнений
Многие учащиеся приведенное квадратное уравнение часто решают устно, используя утверждение, обратное теореме Виета: “ Если числа и удовлетворяют системе ,то , есть корни уравнения .
При этом правда часто для обоснования ссылаются на теорему Виета, которая тут ни при чем.
Рассмотрим прием, позволяющий устно находить корни многих произвольных квадратных уравнений с целыми коэффициентами.
Заметим, что корни уравнения получаются из корней уравнения делением на . Действительно:
Следовательно, для решения уравнения , нужно по теореме, обратной теореме Виета, найти корни уравнения , и каждый из них разделить на .
Используя этот прем, решим уравнение .
Вместо этого уравнения, решим методом подбора, используя теорему, обратную теореме Виета, уравнение . Его корни , . Тогда корнями уравнения будут и .
Заметим, что уравнение получается из уравнения умножением коэффициента при на свободный член. Все эти операции при определенном навыке можно сделать устно.
Для устного решения квадратных уравнений полезно использовать равенства и , где . При этом очевидны следующие утверждения: - Если , то один из корней уравнения равен 1, а второй .
- Если , то один из корней уравнения равен -1, а другой - .
Используя эти утверждения, решим уравнения:
Следовательно Следовательно
, . , .
2. Исследование знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам
Используя теорему Виета, можно, не решая уравнения , определить знаки его корней. Будем предполагать, что приведенное квадратное уравнение имеет
корни, то есть его дискриминант неотрицателен. Результаты несложных рассуждений можно представить в виде таблицы ( рис.1.)
| | | | | | | | | | | | | | | нет корней | корни разных знаков
| корни разных знаков |
| | 3.Расположение на числовой оси действительных корней квадратного трехчлена относительно каких-либо фиксированных точек
Часто на вступительных экзаменах встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси.
Следующие теоремы позволяют существенно упростить решение подобного рода задач. Для уменьшения числа разбираемых случаев рассмотрим приведенное квадратное уравнение . Причем, более подробно остановимся на геометрической интерпретации этих теорем. Доказательство теорем при необходимости можно найти в [1] и [2].
Обозначим : , – дискриминант, – координаты вершины параболы .
Теорема 1. Уравнение имеет два корня, каждый из которых меньше некоторого числа тогда и только тогда, когда
Геометрическая интерпретация теоремы.
Для того,чтобы парабола пересекала ось ОХ в точках и , лежащие левее точки необходимо и достаточно выполнение трех условий: - вершина параболы –точка – должна лежать либо в нижней полуплоскости , либо на оси ОХ ( условие );
2) абсцисса вершины параболы должна лежать левее точки (условие ;
3) парабола в точке должна проходить выше оси ОХ (условие ).
Заметим, что ветви параболы направлены вверх.
Условию теоремы соответствуют два различных расположения параболы относительно оси ОХ и точки . Первый случай (рис.2) описывается системой
Второй случай (рис.3) описывается системой
Теорема 2. Уравнение имеет два корня, каждый из которых больше некоторого числа тогда и только тогда, когда
Геометрическая интерпретация теоремы.
Для того,чтобы парабола пересекала ось ОХ в точках и , лежащих правее точки , необходимо и достаточно выполнение трех условий: - вершина параболы – точка , должна лежать либо в нижней
полуплоскости, либо на оси ОХ (условие ;
- абсцисса вершины параболы должна лежать правее точки
(условие );
- парабола в точке должна проходить выше оси ОХ (условие ).
Условию теоремы соответствуют два различных расположения параболы относительно оси ОХ и точки .
Первый случай (рис.4) описывается системой
Второй случай (рис.5) описывается системой
Теорема 3. Уравнение имеет два корня, один из которых больше числа , а другой меньше , тогда и только тогда, когда .
Геометрическая интерпретация теоремы.
Для того, чтобы парабола пересекала ось ОХ в точках и , между которыми лежит точка , необходимо и достаточно выполнения условия : парабола в точке должна проходить ниже оси ОХ.
Условию теоремы соответствует одно положение параболы (рис.6).
Условия расположения корней квадратного трехчлена относительно некоторых чисел и в общем случае приведены в таблице (рис.7). Там дана и геометрическая интерпретация.
В таблице и – корни квадратного трехчлена , .
, -абсцисса вершины параболы , и – некоторые числа, .
Как и в предыдущих теоремах 1-3 : - условие означает, что парабола имеет...
ВНИМАНИЕ!
Текст просматриваемого вами методического материала урезан на треть (33%)!
Чтобы просматривать этот и другие тексты полностью, авторизуйтесь на сайте:
|
|
Добавлено: 2010.11.20 | Просмотров: 2388
При использовании материалов сайта, активная ссылка на AREA7.RU обязательна!
|
